Выбор при ослаблении предпосылок Эрроу. Теорема о медианном избирателе

Рассмотрим, какие предпосылки теоремы Эрроу выполняются или не выполняются для процедур, приведенных в начале раздела 4.

Для правила простого большинства выполнены универсальность области определения (ее можно осуществить при любом профиле предпочтений), принципу Парето (если все индивидуумы предпочитают некоторую альтернативу, то число лиц, которые за нее проголосуют будет больше половины), независимости от посторонних альтернатив (сравнение осуществляется попарно и интенсивность предпочтений не принимается во внимание) и отсутствию диктатора (найдется профиль предпочтений, при котором больше половины лиц, принимающих участие в голосовании, имеют предпочтения относительно рассматриваемых альтернатив противоположные предпочтениям любого наперед выбранного лица). Однако правило простого большинства не порождает транзитивного бинарного отношения (см. парадокс Кондорсе).

Правило единогласия удовлетворяет независимости от посторонних альтернатив (если при двух различных профилях с некоторой альтернативой согласны все, она будет выбрана в обоих случаях), принципу Парето (по определению), универсальности области определения (ее можно осуществить при любом профиле предпочтений), отсутствию диктатора. Но оно не удовлетворяет предпосылке полноты - не порождает бинарных отношений на всем множестве альтернатив.

Правило выбора по традиции удовлетворяет независимости от посторонних альтернатив, универсальности области определения, отсутствию диктатора (для выбора по этому правилу конкретный профиль предпочтений не имеет значения), если традиция - предпочтения, то предполагаются транзитивность и полнота. Однако правило выбора «по традиции» не удовлетворяет принципу Парето (если предпочитаемая всеми альтернатива не совпадает с «традицией», то она проиграет).

Правило Борда удовлетворяет принципу Парето (если все поставили некоторой альтернативе самый низкий ранг, то и сумма рангов для этой альтернативы будет наименьшей), универсальности области определения (ее можно осуществить при любом профиле предпочтений), отсутствию диктатора. Но она не удовлетворяет предпосылке независимости от посторонних альтернатив.

Рассмотрим пример, показывающий, что независимость от посторонних альтернатив не выполнена. Пусть есть два агента и три альтернативы.

Если профиль предпочтений задан следующим образом:

а ₁ Р ¹ а ₂ Р ¹ а ₃

а ₃ Р ² а ₁ Р ² а ₂,

тогда ранги будет установлены

в соответствии с таблицей.

Очевидно, что общественное

ранжирование приводит к выбору из

альтернатив а ₂и а ₃

альтернативы а ₃, то есть будет выполнено а ₃ Ра ₂.

Если профиль изменится и станет таким:

а ₂ Р ^1′ а ₁ Р ^1′ а ₃

а ₃ Р ^2′ а ₂ Р ^2′ а ₁, то есть не изменятся предпочтения относительно пары

альтернатив а ₂и а ₃, но иначе будут

заданы предпочтения относительно

каждой из этих альтернатив и а ₁, то

ранги, указанные в новой таблице

при суммировании приведут к результату а ₃ Р ^′ а ₂.

Какие возможны направления дальнейшего анализа?

Во-первых, для целей общественного сектора может быть не обязательным построение полного социального квазиупорядочения. Последовательность в принятии решений может быть существенной, но не обязательно может требоваться сравнивать абсолютно любые состояния общества именно посредством предпочтений. Возможно, что в некоторых ситуациях будет достаточно квазитранзитивности и ацикличности бинарных отношений[36].

Если задано бинарное отношение R то порожденное им строгое отношение определяется также, как и в случае предпочтений: xPy Û[(xRy)&ù(yRx)]; аналогично определяется и безразличие: xIy Û[(xRy)&(yRx)];

Определение. Бинарное отношение R, заданное на множестве альтернатив квазитранзитивно, если порожденное им строгое отношение P транзитивно.

Определение. Пусть R - бинарное отношение, заданное на множестве альтернатив X. R ацикличное, если в любом конечном подмножестве X′ÌX для R существует максимизирующий элемент, то есть множество { x Î X: xPy " y Î X }¹Æ.

опечатка в определении!

В случае парадокса Кондорсе нарушается также и ацикличность, то есть самое слабое из приведенных свойств.

Утверждение. Транзитивность влечет квазитранзитивность, а из квазитранзитивности следует ацикличность.

Доказательство.

Транзитивность строгих предпочтений при выполнении транзитивности нестрогих предпочтений доказывается в стандартном курсе микроэкономики (рекомендуется повторить или доказать самостоятельно).

Докажем, что квазитранзитивность влечет ацикличность. Допустим, что R квазитранзитивно, но не ациклично, то есть существует конечное X′ÌX, не имеющее максимизирующего элемента, то есть " X′ $ y Î X ′: yPx (так как (yRx) &ù(xRy)). Тогда для любого целого M можно найти x ¹ P x ² P … P x^mP… P x^MP, где x^m Î X ′ " m =1,…, M. Если М больше, чем число альтернатив в X ′, то в этой последовательности должны найтись совпадающие элементы. Пусть x^m = x^m ′при некотором m > m ′. Тогда в силу квазитранзитивности выполняется x^m ′> x^m = x^m ′, но этого не может быть по определению P и I (P антисимметрично по определению). Следовательно, P ациклично.

Возможно также ослабление предпосылки теоремы Эрроу об универсальности области определения.

Один из наиболее важных случаев ограничения области определения - рассмотрение только одновершинных предпочтений. Этот случай позволяет осуществить агрегирование без наличия диктатора.

Определение. Бинарное отношение ³ на множестве альтернатив X представляет собой линейное упорядочение на X, если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично и полно.

Определение. Рациональное отношение предпочтений на X является одновершинным (однопиковым) по отношению к линейному порядку ³ на Х, если существует альтернатива x Î X, такая что на подмножестве альтернатив, не меньших, чем х, R строго возрастает по отношению к ³, а на подмножестве альтернатив, не меньших, чем х, R строго убывает по отношению к ³, то есть если x ³ z > y, то zPy, а если y > z ³ x, то zPy.

Для заданных линейного порядка ³ на Х и рациональных отношений предпочтений R на Х обозначим R _³Ì R множество всех одновершинных по отношению к ³ рациональных предпочтений.

Если задано множество агентов I (числом тоже I), то R _³ ^I - ограничение множества определения (множество профилей одновершинных предпочтений).

Пусть на R _³ ^I общественные предпочтения определяются путем попарного голосования по правилу простого большинства. То есть при заданном профиле (P ₁,…, P _I)Î R _³ ^I для любой пары (x, y) принадлежащих X альтернатив мы принимаем xry, если число агентов, которые строго предпочитают x больше или равно числу агентов, которые строго предпочитают y, то есть #{ i Î I: xPⁱ y }³ #{ i Î I: yPⁱ y }.

При некотором заданном профиле предпочтений (P ₁,…, P _I)Î R _³ ^I для каждого I обозначим через x_i максимизирующую P_i на Х альтернативу. Будем называть ее вершиной.

Определение. Агент h Î I называется медианным агентом (медианным избирателем) для профиля (P ₁,…, P _I)Î R _³ ^I, если число агентов, вершины которых не больше вершины агента h и число агентов, вершины которых не меньше вершины[Неизвестн5] агента h, оба больше, чем ½ I, то есть #{ i Î I: x_i ³ x_h }³ ½ I и #{ i Î I: x_i £ x_h }³ ½ I.

На рисунке 4.3.1 изображены кривые, отражающие ранжирование предпочтений пятью избирателями. Предпочтения одновершинны. Для избирателя h как число агентов, имеющих вершины не меньшие, чем x_h, так и число агентов, имеющих вершины не больше, чем x_h, равно трем.

Медианный избиратель всегда существует.

Если I нечетно и нет совпадающих вершин, то избирателей имеют вершины строго меньшие, чем у медианного избирателя, и строго большие, чем у медианного избирателя.

Теорема о медианном избирателе.

Утверждение. Если на Х заданы линейный порядок и профиль одновершинных предпочтений, то при голосовании по правилу простого большинства альтернатива x_h, являющаяся вершиной для медианного агента h, не может быть побеждена никакой другой альтернативой.

Доказательство.

Выберем произвольную альтернативу y Î X. Для определенности предположим, что y < x_h. Нужно показать, что при сформулированных условиях не может выполняться yPx, то есть что при выборе между y и x_h число агентов, голосующих за y, больше числа агентов, голосующих за x_h. Или, иначе говоря, что число агентов, предпочитающих при попарном сравнении вершину медианного агента, больше, чем число агентов, предпочитающих y.

#{ i Î I: x_h > y }³ #{ i Î I: y > x_h }.

Рассмотрим множество агентов S Ì I, вершина которых не меньше, чем x_h:

S ={ i Î I: x_i ³ x_h }.

Тогда x_i ³ x_h ³ y " i Î S, но тогда в силу одновершинности предпочтений агента iпо[Неизвестн6] отношению к заданному линейному порядку выполняется

x_h P_i y " i Î S.

С другой стороны, поскольку h - медианный избиратель, число элементов в S не меньше ½ и следовательно, число агентов, строго предпочитающих y, не больше, чем число агентов, не являющимися строго предпочитающими y, а это число равно числу элементов в множестве, являющемся дополнением к S. Но, поскольку мощность S больше или равна ½ то число элементов в его дополнении меньше или равно ½, и меньше или равно числу элементов в S.

Но S - множество агентов, вершина которых не меньше вершины медианного избирателя, которая, в свою очередь, по предположению строго больше, чем y. Отсюда следует, что y не выигрывает у вершины медианного избирателя.

Запишем приведенные выше рассуждения формально.

# S ³ ½, следовательно,

#{ i Î I: yP_ix_h }£#(I \ S)£ ½I £ # S £#{ i Î I: x_hP_iy }.

Доказательство для случая, когда y больше, чем вершина медианного избирателя, аналогично.

Утверждение доказано.

Обратим внимание, что данное утверждение гарантирует ацикличность, которая в случае парадокса Кондорсе не выполнялась.

Задание. Проверьте, что при любом линейном упорядочении альтернатив и том профиле предпочтений, который при построении примера Кондорсе использовался, невозможно получить одновершинные предпочтения у всех избирателей.

Однако гарантировать транзитивность не может даже одновершинность предпочтений.

Чтобы ее с гарантией обеспечить, нужны дополнительные условия. Например приведенные в следующем утверждении.

Утверждение. Если при нечетном числе избирателей на Х заданы линейный порядок и профиль одновершинных предпочтений и эти предпочтения не приводят к эквивалентности для двух различных альтернатив, то порожденное попарным голосованем по правилу простого большинства ранжирование (социальное бинарное отношение) полно, транзитивно.

Доказательство.

Полнота следует из возможности попарного сравнения любых альтернатив.

Для доказательство транзитивности предположим, что xRy и yRz.

При сделанных предположениях о нечетности числа избирателей и невозможности безразличия между двумя альтернативами, число лиц, голосующих за одну альтернативу из предложенной пары, не может совпасть с числом лиц, голосующих за другую. Значит, выполнено xPy и yPz.

Ограничим наши предпочтения, заданные на множестве X, на множество X ′. Они в этом случае также являются одновершинными относительно первоначально заданного линейного порядка. Мы доказали в предыдущем утверждении ацикличность получаемого при голосовании по правилу простого большинства социального ранжирования. Значит, должен найтись максимизирующий элемент. Но таким элементом не может быть ни z, ни y. Значит, максимизирующей является альтернатива x и транзитивность доказана.

Приведем близкий к реалистичному пример, когда одновершинность может нарушаться. Предположим, что в некотором небольшом населенном пункте расходы на среднее образование сверх некоторого минимума финансируются из местных налогов. У каждого избирателя стоит выбор между следующими альтернативами:

высокие налоги и высокий уровень образования для его детей;

отсутствие специального местного налога и тот минимальный уровень образования, финансирование которого обеспечивается центральным правительством,

а также промежуточный вариант, когда налоги относительно невелики, но качество образования тоже не очень высокое. То есть качество образования монотонно возрастает с ростом налога.

Можно привести примеры людей, которые предпочтут второй вариант третьему, а третий первому. Это те, кто считает, что его детям нужно получить ремесло, для которого нужны иные навыки, чем обеспечиваемые школой. То есть для него чем меньше расходы, тем лучше.

Противоположный случай - лица, которые считают, что их детям после школы необходимо учиться дальше, а для получения хорошей (с их точки зрения) профессии, чем выше уровень школьного образования, тем лучше.

Найдутся также и люди, которые предпочтут средний уровень. Это, кстати, может оказаться самым типичным случаем, если расходы, требующиеся для обеспечения высокого качества, очень велики.

При таких предпочтениях естественно упорядочить альтернативы по размеру налога. Проверьте, что в этом случае предпочтения получатся одновершинными, а при другом порядке, для кого-нибудь одновершинность будет нарушена.

Но могут найтись и такие семьи, вероятно, из числа богатых, которые предпочтут либо нулевой или очень низкий налог, либо очень высокий. Просто их ни при каких обстоятельствах не устроит средний уровень. Если высокое качество образования не будет обеспечено в местной школе, они отправят детей в другую школу. Но если упорядочение осуществляется по величине расходов, то для таких семей будет две вершины.

Нетрудно показать, что если предпочтения избирателей при выборе между общественным благом и расходами на частное благо выпуклы (функции полезности квазивогнуты), и налоги для данного избирателя пропорциональны объему обеспечения общественным благом, то предпочтения относительно размера финансирования общественного блага будут одновершинными.

Дата добавления: 2014-12-26