Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 11. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно независимой переменной, неизвестной функции и ее производных.

Дифференциальное уравнение общего вида выглядит следующим образом:

. Здесь x – независимая переменная, y(x) – неизвестная функция.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Если, пользуясь теоремой о неявной функции, из уравнения общего вида удается выразить явно старшую производную, то такое уравнение называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

.

Дифференциальное уравнение первого порядка общего вида выглядит следующим образом:

.

Предположим, что дифференциальное уравнение удалось разрешить относительно производной: или

.

Функция называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если при подстановке этого решения в уравнение получаем тождество.

.

Функция называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области , если

1) при любой постоянной функция является решением,

2) для любого набора начальных условий существует константа такая, что , т.е. существует решение из семейства (при ), удовлетворяющее этим начальным условиям.

Одной из основных задач является задача отыскания общего решения дифференциального уравнения

Если зафиксировать постоянную в общем решении, мы получим частное решение дифференциального уравнения первого порядка.

Функция называется первым интегралом дифференциального уравнения, если она сохраняет свои значения на его решениях ( =С).

По сути дела, это – закон сохранения (функция сохраняет значения на решениях дифференциального уравнения).

Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.

Одной из основных задач является также задачаКоши - задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям или интегральной кривой, проходящей через заданную точку .

Дата добавления: 2015-04-24