Системы массового обслуживания

Исследование систем массового обслуживания

Лабораторная работа № 3

Порядок выполнения работы

График замены элементов

Продолжительность работы элементов

4-й элемент 3-й элемент 2-й элемент 1-й элемент

№ замены

СЧ

Часы работы

Всего часов

СЧ

Часы работы

Всего часов

СЧ

Часы работы

Всего часов

СЧ

Часы работы

Всего часов

обслуживающий персонал будет менять не только дефектный элемент, но и все остальные, количество элементов может оказаться больше, а число замен меньше, т. е. для определения количества замен в каждой замене берётся элемент с наименьшим сроком службы (табл. 4).

Таблица 4

Номер ремонта	Номер элемента	Срок службы элемента	Сумма часов работы

Определим стоимость простоев П₂=6´100=600 у.е. Стоимость элементов С_э2=6´4´5=120 у. е. Всего 720 у.е., что меньше первоначального.

1. Запустить с рабочего стола программу «Имитация»

2. Получить распечатку исходных данных, графика выхода элементов из строя и таблицы случайных чисел.

3. Определить себестоимость простоев при двух разных вариантах, сравнить их, сделать выводы.

Содержание отчёта

1. Распечатка исходных данных, графика, таблицы случайных чисел.

2. Расчеты и выводы.

Контрольные вопросы

1. Что называют имитационным моделированием?

2. Какова методика проведения имитационного моделирования?

3. На основании чего строят таблицу распределения сроков службы элементов?

4. Как можно изменять график обслуживания оборудования?

5645844444444444двапвджапвджапвд4адп4вд4жа4лп4вджа4лп4влд4апджвл4ал4п4вджа4лп4джва4лп4вд4ажл4п4вджа4лпвадж5пл5в5джал5п4лва45жпвд4жа5дпл4вдж5а4лп5валд4п5дл4авд5п4лвал4п5вдж4алп5валд4п5лджва4жлп5вла4пвл5ладж4пвлдж5ал4пвдж5алпжл4в5аджлп4вджа5пджв4джп5вдж45дпжв4аджл5пвджа4дпж5вад4жлп5авлд4пва5лджпв4алдж5пджва4лдп5влджа4п5вадж4545445

Цель работы: Изучить на примере системы массового обслуживания (СМО) работу устройств контроля в автоматизированных производственных системах; научиться моделировать работу СМО.

Системы массового обслуживания предназначены для выполнения заявок или требований, поступающих на их вход в случайные моменты времени. Каждая СМО состоит из некоторого числа каналов обслуживания, в качестве которых в зависимости от вида системы могут выступать: приёмные пункты, рабочие точки, подъездные пути, испытательные стенды, технологические агрегаты, ремонтные бригады и т.п. Выполнение поступающей заявки, т.е. её обслуживание, продолжается некоторое время (также случайное число), после чего канал освобождается и готов принять следующую заявку.

Системы массового обслуживания могут быть двух типов: 1) СМО с отказами, в которых заявка, поступившая в тот момент, когда все каналы заняты, получает отказ и не обслуживается; 2) СМО с ожиданием, в которых каждая заявка, прибывшая в систему, когда в ней нет свободных каналов, остаётся и ожидает, пока не освободится какой-нибудь канал и её не возьмут на обслуживание.

Системы массового обслуживания с отказами. В зависимости от степени необходимости в этой системе заявки либо покидают систему, либо обращаются повторно.

На вход системы поступает поток заявок с интенсивностью l. Заявка, поступившая в тот момент, когда система свободна, сразу же берётся на обслуживание. Следующая заявка, прибывшая в момент, когда канал обслуживания занят, получает отказ. Время обслуживания заявки имеет случайную продолжительность, но имеется какое-либо среднее значение, в результате чего на выходе образуется поток обслуживания с интенсивностью m. Наглядно поток обслуживания можно представить таким образом, что если бы канал обслуживания был непрерывно загружен, то из него выходил бы поток обслуженных заявок. Схема СМО с отказами представлена на рис.4.

Рис.4. Поток обслуживания и поток обслуживания в системе массового обслуживания

Среднее время обслуживания одной заявки – это средняя продолжительность выполнения соответствующей технологической операции. Граф состояний системы (рис.5), показывает возможнные переходы из одного состояния в другое.

S₁

S₀

l

m

Рис. 5. Граф одноканальной СМО с отказами

Возможность нахождения СМО в свободном состоянии S₀ определяется какой-то, пока не известной, вероятностью p₀. Соответственно p₁- это вероятность, что система находится в занятом состоянии S_1. Так как система может находиться только в одном из двух состояний, то в каком-то из них всегда находится, поэтому сумма вероятностей равна 1

p₀+p₁=1. (5)

Чтобы система могла побывать в этих двух состояниях воздействия, выводящих её из состояния S₀, должны уравновешиваться воздействиями, возвращающих систему обратно в это состояние. Величины каждого взаимодействия определяются произведением интенсивности потока на соответствующую вероятность, т.е.

lp₀=mp₁. (6)

Из этого выражения определим

p₁=lp₀/m. (7)

Учитывая, что сумма вероятностей всегда равна 1, получим

p₀+lp₀/m=1. (8)

или

p₀=m/(l+m). (9)

и соответственно

p₁=l/(l+m). 10)

Основными параметрами СМО с отказами являются: относительная пропускная способность, а также вероятность получения отказа. Относительная пропускная способность q определяется вероятностью того, что в момент прихода заявки канал свободен, и она будет сразу же обслужена, т.е. для одноканальной системы q=p₀. В пределе, когда процесс уже установился, значение относительной пропускной способности СМО будет равно

q=m/(l+m). (11)

Вероятность того, что заявка будет обслужена, определяется p₀, а вероятность отказа – p₁. Таким образом, вероятность того, что канал будет занят

p_отк=p₁=l/(l+m). (12)

Системы массового обслуживания с ожиданием. Сущность её заключается в том, что заявка, поступившая, в момент, когда канал занят, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает. Граф состояний такой системы показан на рис. 6.

Рис.6. Граф системы массового обслуживания с ожиданием

Состояние S₀ соответствует свободному каналу; S₁ означает, что канал занят, но очереди нет; S₂ - канал занят и одна заявка стоит в очереди; S₃ - в очереди две заявки и т.д. В состоянии S_k, например, канал занят и (k-1) заявок ожидается в обслуживании. По стрелкам слева на право систему из одного состояния в другое переводит поток заявок с интенсивностью l, а по стрелкам справа на лево переводит поток обслуживаний, имеющий интенсивность m. Всякий раз при переходе из одного состояния в другое очередь изменяется на 1.

Для получения вероятности начального состояния можно использовать уравнение

lp₀=mp_1. (13)

откуда

p₁=l/mp_0. (14)

Величину l/m называют интенсивностью нагрузки СМО, в дальнейшем будем её обозначать q. Для устойчивой работы СМО с ожиданием необходимо, чтобы средняя интенсивность потока обслуживания была больше интенсивности потока заявок, т.е. m>l и, следовательно, q<1. Если же будет m>l, тогда система не справится с обслуживанием, и очередь будет расти до бесконечности.

Используя выделенные обозначения, вероятность состояния S₁ можно записать в виде p₁=qp₀. Чтобы получить вероятность p₂ и p₃, можно использовать полученные ранее выражения: p₂=q²p₀, p₃=q³p₀. Аналогично можно получить выражение для произвольного члена: p_k=q^kp₀.

Для определения p₀ напишем выражение для суммы вероятностей

p₀ + qp₀ + q²p₀ +…+ q^kp₀=1. (15)

Величина 1+ qp₀ + q²p₀ +…+ q^kp₀ представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, она равна 1/(1-q), поэтому р₀=1-q. Откуда получаем р_к=q^k(1-q).

Используя это выражение, можно определить характеристики системы массового обслуживания с ожиданием, существенным для её функционирования: среднюю длину очереди, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания в системе и вероятность образования очереди.

С вероятностью р₂ в очереди стоит одна заявка, с вероятностью з₃ - две заявки и с вероятностью p_k в очереди находится (k-1) заявок. Следовательно,

L_ср=1р₂ + 2р₃ +…+ (k-1)p_k=q²(1-q)(1+2q+3q³+…+kq^k-1). (16)

Сумма геометрической прогрессии 1+2q+3q³+…+kq^k-1 равна 1/(1-q)², поэтому

L_ср=q²/(1-q)=l/(m(m-l)). (17)

Среднее число заявок, находящихся в очереди, в зависимости от среднего числа заявок находящихся на обслуживанию, включая интервалы, когда очереди не было определяется по формуле (18). Эта величина w принимает значение 0, если канал свободен. Величина такого состояния равна р₀=1-q. Если канал занят, значит, заявки обслуживаются и w=1, вероятность этого равна 1-р₀=q

Следовательно,

w=L_ср+q=q/(1-q), (18)

откуда

t_ож=q²/(l(1-q)). (19)

Вероятность образования очереди равна вероятности того, что в системе будет более одного требования, т.е.

p_k=1-p₀-p₁=1-(1-q)-q(1-q)=q². (20)

Дата добавления: 2015-04-29