Векторное подпространство

Векторным подпространством, или просто подпространством, векторное пространство Е над полем К называется множество , замкнутое относительно действий сложения и умножения на скаляр. Подпространство, рассматриваемое отдельно от вмещающего его пространства, есть векторное пространство над тем же полем.

Множество называется подпространством линейного пространства V, если:

1)

2)

Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории Векторное пространство нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:

1) (х, у)=(у, х) (перестановочность);

2) (x₁ + x₂, y)=(x₁, y)+(x₂, y) (распределительное свойство);

3) (ax, у)= a (х, у),

4) (х, х) ³ 0 для любого х, причем (х, х) = 0 только для х = 0.

Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. Векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством. Длина | x | вектора x и угол между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами

Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство Eⁿ получим, определяя в n -мepном арифметическом Векторное пространство скалярное произведение векторов x =(l₁, …, l_n) и y = (m₁, …, m_n) соотношением

(x, y)= l₁m₁ + l₂m₂ + … + l_nm_n. (2)

При этом требования 1)—4), очевидно, выполняются.

В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у)= 0. В рассмотренном пространстве Eⁿ условие ортогональности векторов x =(l₁, …, l_n) и y =(m₁, …, m_n), как это следует из соотношения (2), имеет вид:

l₁m₁ + l₂m₂ + … + l_nm_n = 0. (3)

Дата добавления: 2015-04-24