Простые методы оценки инвестиций 3 страница

t0 t1 – соответственно базисный и отчетный периоды времени.

Группируя в этой формуле последнее слагаемое с одним из первых, получаем два различных варианта цепных подстановок.

Первый вариант:

Второй вариант:

На практике обычно применяется первый вариант (при условии, что х – количественный фактор, а у – качественный).

В этой формуле выявляется влияние качественного фактора на изменение обобщающего показателя, т. е. выражение более активно связи получить однозначное количественное значение отдельных факторов без соблюдения дополнительных условий не представляется возможным.

Метод взвешенных конечных разностей.
Этот метод состоит в том, что величина влияния каждого фактора определяется как по первому, так и по второму порядку подстановки, затем результат суммируется и от полученной суммы берется средняя величина, дающая единый ответ о значении влияния фактора. Если в расчете участвует больше факторов, то их значения рассчитываются по всем возможным подстановкам. Опишем этот метод математически, используя обозначения, принятые выше.

Как видно, метод взвешенных конечных разностей учитывает все варианты подстановок. Одновременно при усреднении нельзя получить однозначное количественное значение отдельных факторов. Этот метод весьма трудоемкий и, по сравнению с предыдущим методом, усложняет вычислительную процедуру, т. к. приходится перебирать все возможные варианты подстановок. В своей основе метод взвешенных конечных разностей идентичен (только для двухфакторной мультипликативной модели) методу простого прибавления неразложимого остатка при делении этого остатка между факторами поровну. Это подтверждается следующим преобразованием формулы

Аналогично

Следует заметить, что с увеличением количества факторов, а значит, и количества подстановок, описанная идентичность методов не подтверждается.

Логарифмический метод.
Этот метод, состоит в том, что достигается логарифмически пропорциональное распределение остатка по двум искомым факторам. В этом случае не требуется установления очередности действия факторов.

Математически этот метод описывается следующим образом.

Факторную систему z = xy можно представить в виде lg z=lg x + lg y, тогда

или

где

Разделив обе части формулы на и умножив на Δz, получим

(*)

или

где

Выражение (*) для Δz представляет собой не что иное, как его логарифмическое пропорциональное распределение по двум искомым факторам. Именно поэтому авторы такого подхода назвали этот метод «логарифмическим методом разложения приращения Δz на факторы». Особенность логарифмического метода разложения состоит в том, что он позволяет определить безостаточное влияние не только двух, но и многих изолированных факторов на изменение результативного показателя, не требуя установления очередности действия.

В более общем виде этот метод был описан еще математиком А. Хумалом, который писал: «Такое разделение прироста произведения может быть названо нормальным. Название оправдывается тем, что полученное правило разделения остается в силе при любом числе сомножителей, а именно: прирост произведения разделяется между переменными сомножителями пропорционально логарифмам их коэффициентов изменения». Действительно, в случае наличия большего числа сомножителей в анализируемой муль-типликативной модели факторной системы (например, z=xypm) суммарное приращение результативного показателя Δzсоставит

Разложение прироста на факторы достигается за счет ввода коэффициента k, который в случае равенства нулю или взаимного погашения факторов не позволяет использовать указанный метод. Формулу для Δz можно записать иначе:

где

В таком виде эта формула в настоящее время используется как классическая, описывающая логарифмический метод анализа. Из этой формулы следует, что общее приращение результативного показателя распределяется по факторам пропорционально отношению логарифмов факторных индексов к логарифму результативного показателя. При этом не имеет значения, какой логарифм используется (натуральный ln N или десятичный lg N).

Основным недостатком логарифмического метода анализа является то, что он не может быть «универсальным», его нельзя применять при анализе любого вида моделей факторных систем. Если при анализе мультипликативных моделей факторных систем при использовании логарифмического метода достигается получение точных величин влияния факторов (в случае, когда ), то при таком же анализе кратных моделей факторных систем получение точных величин влияния факторов не удается.

Так, если кратную модель факторной системы представить в виде

то ,

тогда аналогичную формулу можно применять к анализу кратных моделей факторных систем, т. е.

где

Если в кратной модели факторной системы , то при анализе этой модели получим:

Следует заметить, что последующее расчленение фактора Δz’y методом логарифмирования на факторы Δz’c и Δz’q, осуществить на практике не удается, т. к. логарифмический метод в своей сути предусматривает получение логарифмических отношений, которые для расчленяющихся факторов будут примерно одинаковыми. Именно в этом и заключается недостаток описанного метода. Применение «смешанного» подхода в анализе кратных моделей факторных систем не решает проблемы получения изолированного значения из всего набора факторов, оказывающих влияние на изменение результативного показателя. Присутствие приближенных вычислений величин факторных изменений доказывает несовершенство логарифмического метода анализа.

Метод коэффициентов. Этот метод, описанный русским математиком И. А. Белобжецким, основан на сопоставлении числового значения одних и тех же базисных экономических показателей при разных условиях.И. А. Белобжецкий предложил определять величины влияния факторов следующим образом:

Описанный метод коэффициентов подкупает своей простотой, но при подстановке цифровых значений в формулы результат у И. А. Белобжецкого получился правильным лишь случайно. При точном выполнении алгебраических преобразований результат суммарного влияния факторов не совпадает с величиной изменения результативного показателя, полученного прямым расчетом.

Метод дробления приращений факторов.
В анализе хозяйственной деятельности наиболее распространенными являются задачи прямого детерминированного факторного анализа. С экономической точки зрения к таким задачам относится проведение анализа выполнения плана или динамики экономических показателей, при котором рассчитывается количественное зна-чение факторов, оказавших влияние на изменение результативного показателя. С математической точки зрения задачи прямого детерминированного факторного анализа представляют исследование функции нескольких переменных.

Дальнейшим развитием метода дифференциального исчисления явился метод дробления приращений факторных признаков, при котором следует вести дробление приращения каждой из переменных на достаточно малые отрезки и осуществлять пересчет значений частных производных при каждом (уже достаточно малом) перемещении в пространстве. Степень дробления принимается такой, чтобы суммарная ошибка не влияла на точность экономических расчетов.

Отсюда приращение функции z=f(x, у) можно представить в общем виде следующим образом:

где n – количество отрезков, на которые дробится приращение каждого фактора;

Axn = – изменение функции z = f(x, у) вследствие изменения фактора х на величину ;

Ayn = – изменение функции z = f(x, у) вследствие изменения фактора у на величину

Ошибка ε убывает с увеличением n.

Например, при анализе кратной модели факторной системы вида методом дробления приращений факторных признаков получим следующие формулы расчета количественных величин влияния факторов на результирующий показатель:

ε можно пренебречь, если п будет достаточно велико.

Метод дробления приращений факторных признаков имеет преимущества перед методом цепных подстановок. Он позволяет определить однозначно величину влияния факторов при заранее заданной точности расчетов, не связан с последовательностью подстановок и выбором качественных и количественных показателей-факторов. Метод дробления требует соблюдения условий дифференцируемости функции в рассматриваемой области.

Интегральный метод оценки факторных влияний.
Дальнейшим логическим развитием метода дробления приращений факторных признаков стал интегральный метод факторного анализа. Этот метод основывается на суммировании приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках. При этом должны соблюдаться следующие условия:

непрерывная дифференцируемость функции, где в качестве аргумента используется экономический показатель;

функция между начальной и конечной точками элементарного периода изменяется по прямой;

постоянство соотношения скоростей изменения факторов

В общем виде формулы расчета количественных величин влияния факторов на изменение результирующего показателя (для функцииz=f(x, у) – любого вида) выводятся следующим образом, что соответствует предельному случаю, когда :

где Гe – прямолинейный ориентированный отрезок на плоскости (x, у), соединяющий точку (х0, y0) с точкой (x1, у1).

В реальных экономических процессах изменение факторов в области определения функции может происходить не по прямолинейному отрезку e, а по некоторой ориентированной кривой. Но т. к. изменение факторов рассматривается за элементарный период (т. е. за минимальный отрезок времени, в течение которого хотя бы один из факторов получит приращение), то траектория кривой определяется единственно возможным способом – прямолинейным ориентированным отрезком кривой, соединяющим начальную и конечную точки элементарного периода.

Выведем формулу для общего случая.

Задана функция изменения результирующего показателя от факторов

Y = f(x1, x2,..., хт),

где xj – значение факторов; j = 1, 2,..., т; у – значение результирующего показателя.

Факторы изменяются во времени, и известны значения каждого фактора в п точках, т. е. будем считать, что в m-мерном пространстве задано п точек:

где xji – значение j-го показателя в момент i.

Точки M1 и Мп соответствуют значениям факторов на начало и конец анализируемого периода соответственно.

Предположим, что показатель у получил приращение Δy за анализируемый, период; пусть функция y = f(x1, x2,..., xm)дифференцируема и f'xj(x1, х2,..., хт) – частная производная от этой функции по аргументу xj.

Допустим, Li – отрезок прямой, соединяющий две точки Mi и Mi+1 (i=1, 2, …, n-1).

Тогда параметрическое уравнение этой прямой можно записать в виде

Введем обозначение

Учитывая эти две формулы, интеграл по отрезку Li можно записать следующим образом:

j = 1, 2,…, m; I = 1,2,…,n-1.

Вычислив все интегралы, получим матрицу

Элемент этой матрицы yij характеризует вклад j-го показателя в изменение результирующего показателя за период i.

Просуммировав значения Δyij по таблицам матрицы, получим следующую строку:

(Δy1, Δy2,…, Δyj, …, Δym.);

Значение любого j-го элемента этой строки характеризует вклад j-го фактора в изменение результирующего показателя Δy. Сумма всех Δyj (j = 1, 2,..., m) составляет полное приращение результирующего показателя.

Можно выделить два направления практического использования интегрального метода в решении задач факторного анализа. К первому направлению можно отнести задачи факторного анализа, когда не имеется данных об изменении факторов внутри анализируемого периода или от них можно абстрагироваться, т. е. имеет место случай, когда этот период следует рассматривать как элементарный. В этом случае расчеты следует вести по ориентированной прямой. Этот тип задач факторного анализа можно условно именовать статическим, т. к. при этом участвующие в анализе факторы характеризуются неизменностью положения по отношению к одному фактору, постоянством условий анализа измеряемых факторов независимо от нахождения их в модели факторной системы. Соизмерение приращений факторов происходит по отношению к одному выбранному для этой цели фактору.

К статическим типам задач интегрального метода факторного анализа следует относить расчеты, связанные с анализом выполнения плана или динамики (если сравнение производится с предшествующим периодом) показателей. В этом случае данных об изменении факторов внутри анализируемого периода нет.

Ко второму направлению можно отнести задачи факторного анализа, когда имеется информация об изменениях факторов внутри анализируемого периода и она должна приниматься во внимание, т. е. случай, когда этот период в соответствии с имеющимися данными разбивается на ряд элементарных. При этом расчеты следует вести по некоторой ориентированной кривой, соединяющей точку (х0, у0) и точку (x1, y1) для двухфакторной модели. Задача состоит в том, как определить истинный вид кривой, по которой происходило во времени движение факторов х и y. Этот тип задач факторного анализа можно условно именовать динамическим, т. к. при этом участвующие в анализе факторы изменяются в каждом разбиваемом на участки периоде.

К динамическим типам задач интегрального метода факторного анализа следует относить расчеты, связанные с анализом временных рядов экономических показателей. В этом случае можно подобрать, хотя и приближенно, уравнение, описывающее поведение анализируемых факторов во времени за весь рассматриваемый период. При этом в каждом разбиваемом элементарном периоде может быть принято индивидуальное значение, отличное от других. Интегральный метод факторного анализа находит применение в практике детерминированного экономического анализа.

В отличие от цепного метода в интегральном методе действует логарифмический закон перераспределения факторных нагрузок, что свидетельствует о его больших достоинствах. Этот метод объективен, поскольку исключает какие-либо предположения о роли факторов до проведения анализа. В отличие от других методов факторного анализа при интегральном методе соблюдается положение о независимости факторов.

Важной особенностью интегрального метода факторного анализа является то, что он дает общий подход к решению задач самого разного вида независимо от количества элементов, входящих в модель факторной системы, и формы связи между ними. Вместе с тем в целях упрощения вычислительной процедуры разложения приращения результирующего показателя на факторы следует придерживаться двух групп (видов факторных моделей: мультипликативных и кратных.)

Вычислительная процедура интегрирования одна и та же, а получаемые конечные формулы расчета факторов различны. Формирование рабочих формул интегрального метода для мульти-пликативных моделей. Применение интегрального метода факторного анализа в детерминированном экономическом анализе наиболее полно решает проблему получения однозначно определяемых величин влияния факторов.

Появляется потребность в формулах расчета влияния факторов для множества видов моделей факторных систем (функций). Выше было установлено, что любую модель конечной факторной системы можно привести к двум видам – мультипликативной и кратной. Это условие предопределяет то, что исследователь имеет дело с двумя основными видами моделей факторных систем, т. к. остальные модели – это их разновидности.

Операция вычисления определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования выполняется по стандартной программе, заложенной в память машины. В этой связи задача сводится лишь к построению подынтегральных выражений, которые зависят от вида функции или модели факторной системы.

Для облегчения решения задачи построения подынтегральных выражений в зависимости от вида модели факторной системы (мультипликативные или кратные) предложим матрицы исходных значений для – построения подынтегральных выражений элементов структуры факторной системы. Принцип, заложенный в матрицах, позволяет построить подынтегральные выражения элементов структуры факторной системы для любого набора элементов модели конечной факторной системы. В основном построение подынтегральных выражений элементов структуры факторной системы – процесс индивидуальный, и в случае, когда число элементов структуры измеряется большим количеством, что в экономической практике является редкостью, исходят из конкретно заданных условий.

При формировании рабочих формул расчета влияния факторов в условиях применения ЭВМ пользуются следующими правилами, отражающими механику работы с матрицами: подынтегральные выражения элементов структуры факторной системы для мультипликативных моделей строятся путем произведения полного набора элементов значений, взятых по каждой строке матрицы, отнесенных к определенному элементу структуры факторной системы с последующей расшифровкой значений, приведенных справа и внизу матрицы исходных значений (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Матрица исходных значений для построения подынтегральных выражений элементов структуры мультипликативных моделей факторных систем

Элементы структуры факторной системы	Элементы мультипликативной модели факторной системы	Подынтегральня формула
	x	y	z	q	p	m	n
	-							-
		-
			-
				-
					-
						-
							-
Подынтегральня формула	-	y/x = (y0 + kx)dx	z/x = (z0 + lx)dx	q/x = (q0 + mx)dx	p/x = (p0 + nx)dx	m/x = (m0 + ox)dx	n/x = (n0 + px)dx
Где	-

Приведем примеры построения подынтегральных выражений.

Пример 1
Вид моделей факторной системы f = x y zq (мультипликативная модель).

Структура факторной системы

Построение подынтегральных выражений

где

Формирование рабочих формул интегрального метода для кратных моделей. Подынтегральные выражения элементов структуры факторной системы для кратных моделей строятся путем ввода под знак интеграла исходного значения, полученного на пересечении строк в зависимости от вида модели и элементов структуры факторной системы с последующей расшифровкой значений, приведенных справа и вниз у матрицы исходных значений.

Пример 2
Вид модели факторной системы:

(кратная модель).

Структура факторной системы:

Построение подынтегральных выражений:

Дата добавления: 2015-04-24