Спектр оператора в Банаховом пространстве. Резольвента. Аналитические свойства резольвенты

Пусть A - ограниченный оператор. Рассмотрим оператор A − λI. Спектром оператора называется множество точек λ ∈ C, для которых не существует ограниченного обратного оператора к A − λI. Мы будем обозначать спектр оператора A через (A).

Точки, лежащие в дополнении к спектру, называются регулярными.

Пусть A: X → X – ограниченный оператор. Резольвентой оператора называется функция

Обратим внимание на то, что (когда сущ-ет), а существование и непрерывность оператора зависят от поведения резольвенты при .

В точках спектра резольвента либо не существует, либо не определенна на всем пространстве Х.

Лемма 4.1 (Тождество Гильберта). Для резольвенты оператора A имеет место формула R(z) − R(w) = (z − w)R(z)R(w).

Рассмотрим тождество (A − wI) − (A − zI) = (z − w)I. Домножим слева на оператор R(z), а справа на R(w), получим

R(z)(A − wI)R(w) − R(z)(A − zI)R(w) = R(z)(z − w)R(w). После сокращения прямых и обратных операторов получим R(z) − R(w) = (z − w)R(z)R(w).

Дата добавления: 2015-04-24