Зв'язок між дискретними та неперервними моделями. Відображення Пуанкаре

Тонка гра між неперервним та дискретним складає структуру нашого світу. Підтвердженням такої думки Арнольда є той факт, що будь–яка реальна система за достатньої деталізації починає проявляти ознаки дискретного, і навпаки, збільшення масштабу її огляду на перший план висуває риси неперервності. Зокрема диференціальні рівняння МСС добре моделюють ті фізичні об’єкти, котрі складаються з надзвичайно великого числа молекул та атомів і перестають працювати на дрібних масштабах розгляду. У той же час вимушено дискретне описання нечисленої біологічної популяції поступово має узгоджуватися з її неперервними моделями при достатньому зростанні кількості її членів. Має існувати зв’язок між двома моделями однієї динамічної системи:

(неперервність) (дискретність)

Першим на такий зв’язок вказав Пуанкаре. Він запропонував підхід, який дає змогу довільній диференціальній системі поставити у відповідність певне дискретне відображення. Ідея підходу проста – у просторі траєкторій еволюції системи слід вибрати поверхню, яку ці траєкторії у визначені моменти часу перетинають.

Рис. 2. Січення Пуанкаре.

Отримані точки перетину і визначають відображення Пуанкаре.

Інтенсивний розвиток геометричних підходів до аналізу динамічних систем почався з революційної роботи американського математика Смейла. У ній він спростив геометрію відомої задачі Пуанкаре про рух трьох тіл за рахунок побудови спеціального відображення, етапи якого геометрично нагадували процес згину прямокутника у підкову, і через що воно отримало назву “підкова Смейла”. Всупереч очікуваням така динамічна система демонструвала не тільки періодичну поведінку, а й хаотичну динаміку, незважаючи на дискретність еволюційного процесу.

Втім, останні дослідження показали все ж не абсолютну адекватність геметричного підходу для дискретних відображень неперервних систем, що описуються диференціальними рівняннями.

Дата добавления: 2015-05-08