Поняття стійкості ДС. Моделі Лагранжа та Пуассона

Головною метою науки є прогнозування поведінки потрібних об’єктів. Одним з найбільш практично важливих для людей проявів цієї поведінки є здатність систем утримувати працездатність в умовах зовнішних збурень, інакше кажучи, бути стійкими до спроб вивести їх з робочого режиму. Прикладами небажаної втрати стійкості систем є падіння будинку під час землетрусу, економічна чи політична криза в суспільства, екологічні катастрофи та ін. Всі вони ілюструють велику різноманітність проявів нестійкості у природі. Для динамічних систем є зміст говорити про стійкість траєкторій їх еволюції. Якщо навіть невеликі збурення траєкторій на початку призводять до подальшого кардинального (експоненціального) їх розходження, то такий рух називають нестійким. Зокрема, дуже нестійкими є хаотичні рухи.

Втрата стійкості системою може бути викликана як зовнішними, так і внутрішними причинами. До перших відносяться різного роду навантаження на систему, вибір початкових умов її еволюції, тощо.

Розглянемо рух кульки, яка вільно котиться деяким рельєфом. У момент скочування схилом прикладання до неї невеликого додаткового горизонтального зусилля, звісно, заставить її дещо змінити свою траекторію. Проте, в цілому, подальша еволюція кульки у значній мірі залежатиме відшвидкісті і напрямку її руху до початку дії сили. Зовсім іншою є ситуація, коли кулька викотилась на верхівку горба (у точку нестійкості) і зупинилась. Тепер досить найменшого зусилля для виведення її з положення нестійкої рівноваги і, що є принципово важливим моментом, подальше розгортання подій ніяк не пов’язане з попередньою історією руху кульки! Таким чином, вся її еволюція складається з незалежних між собою добре визначених періодів (ми їх вище назвали русловими), котрі розділені нестійкими (стоковими) періодами. Погоджуючись з критикою уважного читача щодо нульової ймовірності точного попадання на верхівку горба і повну саме там зупинку, зауважимо, що, все ж, чим точніше ця ситуація на практиці буде зреалізована, тим меншого зусилля буде достатньо для скерування траекторії руху кульки у той, чи інший бік.

Наведений приклад демонструє надзвичайну чутливість систем до найменших змін їх внутрішних чи зовнішних параметрів саме у точках нестійкості, а також властивість "забувати" історію своєї попередньої еволюції після їх проходження. У цих точках система наче "зупиняється на порозі" можливих майбутніх траєкторій розвитку в очікуванні найменших збуджующих зовнішних факторів для вибору своєї подальшої поведінки. Стають зрозумілими проблеми класичних математичних моделей у вигляді початково–крайових задач. Кожна така модель діє лише протягом одного руслового періоду, і після проходження точки нестійкості слід задатися або новими початковими умовами, або й, можливо, змінити саму модель.

Більш загальне визначення стійкості, сформульоване Пуассоном, вимагає, щоб частинка за безмежний час нескінчену кількість разів проходила через як завгодно малий окіл початкової точки.

У небесній механіці рух важався стійким, якщо відбувався в обмеженій області простору (Лагранж).

Стійкість за Пуассоном передбачає нескінченну кількість повернень траекторії до як завгодно малого ε–околу будь–якої наперед вибраної її точки.

Дата добавления: 2015-05-08