П.3. Абсолютна та відносна похибки

П.2. Десятковий запис та заокруглення чисел.

Будь-яке десяткове число а можна записати у вигляді скінченого чи нескінченого десяткового дробу

а = a₁*10^m + a₂*10^m-1 +……+ a_n*10^m-n+1+….., (1)

де a_і – цифри числа, a₁ ≠ 0, а m – старший десятковий розряд числа а, n – розряд числа

n = 1234 5678

Наприклад,

10^3-2+1 10^3-4+1 10^3-8+1

1905,0778 = 1·10³ + 9·10² + 0·10¹ + 5·10⁰ + 7·10^-2 + 7·10^-3 + 8·10^-4

10^m-n+1 – називається ціною розряду.

Правила заокруглення:

1. Якщо цифри, що відкидаються є більшими половини останнього залишеного розряду то остання цифра, що залишається підсилюється. Якщо ні, то просто відкидається 12,7852 → 12,8; 394,261 → 394; 6,265001 → 6,27; ; ; 6,27, тому що .

2. Якщо цифри, що відкидаються складають число, що дорівнює половині, то остання цифра, що залишається, підсилюється, якщо вона непарна і залишається без змін, якщо парна. Це правило ще називають правилом парної цифри:

147,5 → 148

148,5 → 148

В деяких випадках, просто відкидають лишні цифри при заокругленні.

Нехай А – точне число, а – його наближене значення. Якщо а < А, то а – є наближеним значенням числа А за недостачею; якщо а > А, то а є наближеним значенням числа А за надлишком.

(А – а) називається помилкою або похибкою. Величину похибки (А – а) і навіть її знак визначити неможливо, тому що невідоме точне число А. Тому замість самої похибки користуються верхньою границею її абсолютної величини.

Отже, абсолютною похибкою наближеного числа а називається величина , що задовольняє .

Абсолютна похибка – це є верхня межа відхилення точного числа А від наближеного

або (2')

. (3)

На практиці часто використовують вираз типу: „з точністю до 0,01”, „ з точністю до 1 см”. Це означає, що абсолютна похибка = 0,01 чи 1 см.

Приклад 1. Довжину відрізка L виміряли з точністю до 0,05 см і отримали L = 18,4 см. Тут . Згідно (3) . А точна величина довжини відрізку згідно (2') знаходиться в межах 18,35 ≤ L ≤ 18,45.

Приклад 2. Довжину L вимірювали за допомогою лінійки з ціною поділки 0,1 см. Нехай точне значення знаходиться між 4,6 і 4,7 см. Наближене значення варто взяти L = 4,65. Абсолютною похибкою буде половина ціни поділки лінійки.

Абсолютна похибка відтворює лише кількісну сторону похибки, але не якісну, тобто не вказує на те, чи добре, чи погано проведене вимірювання чи розрахунки.

Дійсно, при вимірюванні однією і тією ж лінійкою з ціною поділки 1 см довжини та товщини дошки стола отримаємо результати в см: d = 2 ± 0,5см і L = 100 ± 0,5 см. Абсолютні похибки однакові – 0,5 см. Але, очевидно, що 2-е вимірювання проведено більш точно ніж перше. Для того, щоб оцінити якість проведених вимірювань чи обчислень, вводять поняття відносної похибки: а ≠ 0 або ,

а ≠ 0 (4)

і (3) стане

.

Відносну похибку іноді зображають в %.

Дата добавления: 2015-05-23