Для нерухомого середовища

Диференційне рівняння теплопровідності

Аналітичне вивчення процесів теплопровідності неможливе без встановлення залежності між величинами, що характеризують ці процеси і являються функціями просторових координат та часу. В основу виведення диференційного рівняння теплопровідності покладено закон збереження енергії, який в даному випадку може бути сформульований в наступному вигляді: кількість теплоти, що введено в елементарний об’єм ззовні внаслідок теплопровідності, а також від внутрішніх джерел дорівнює зміні внутрішньої енергії або ентальпії речовини (в залежності від розгляду ізохорного або ізобарного процесу), яка міститься в цьому об’ємі.

Рис. 1.4 До виведення диференційного рівняння теплопровідності

Розглянемо елементарний об’єм в прямокутній системі координат (рис. 1.4). Через поверхню за час повздовж осі підводиться кількість тепла:

.

Через протилежну сторону відводиться кількість теплоти .

Розкладемо функцію в ряд Тейлора і збережемо перші два члени:

Кількість теплоти, що залишилася в єлементарному об’ємі за час повздовж осі :

(1.7)

Аналогічно запишемо для зміни кількості теплоти повздовж осей і :

, (1.8)

Складемо (1.8) і (1.9) та знайдемо кількість теплоти , що була підведена до елементарного об’єму за час за рахунок теплопровідності

(1.9)

Всередині тіла може виділятися або поглинатися теплота в результаті, наприклад, хімічних або фазових перетворень, дії електричного струму та ін. Кількість теплоти, що виділяється внутрішніми джерелами теплоти в об’ємі за час є

(1.10)

де – потужність внутрішніх джерел теплоти.

Згідно закону збереження енергії для ізохорного процесу ()

,

де – приріст внутрішньої енергії елементарного об’єма за час .

Так, як і з урахуванням (1.9) і (1.10) маємо:

або

, (1.11)

де – густина речовини, ; – ізохорна теплоємність одиниці маси, .

Для ізобарного процесу () маємо

. (1.12)

Рівняння (1.11) і (1.12) являються диференційними рівняннями теплопровідності для ізохорного і ізобарного процесів відповідно. Для твердих тіл . Використовуючи закон Фур’є отримаємо диференційне рівняння теплопровідності в наступному вигляді:

. (1.13)

Дата добавления: 2015-05-26