Окремі випадки диференціальних рівнянь теплопровідності. Класифікація задач теплопроводності

В загальному випадку теплофізичні властивості p,с,λ залежать від температури. Тоді рівняння (1.9) є нелінійним, що ускладнює його розв’язок. Найбільш помітно властивості змінюються в області критичної точки стану речовини (для текучих середовищ) і при низьких температурах (нижче приблизно 120 К) – для твердих матеріалів. Такий випадок є типовим для криогеної техніки. Але можливі і більш прості варіанти.

1. Стаціонарна задача зводиться до розгляду натупного рівняння

(1.14)

При умові λ (T) = const, рівняння спрощується:

і у випадку відсутності внутрішніх джерел тепла, набуває вигляду рівняння Лапласа:

.

Оператор в різних системах координат представляється наступним чином:

– декартова: ;

– циліндрична: ;

– сферична: .

2. За умов, що теплофізичні властивості не залежать від температури, рівняння (1.9) спрощується:

, (1.15)

де – коефіцієнт температуропроводності, м²/с, що являється мірою теплоінерційних властивостей тіла. Чим вище це значення, тим більше швидкість зміни температури у визначеній точці при всіх інших рівних умовах. При рівняння (1.11) зводиться до лінійного однорідного диференційного рівняння.

.

Запис диференціального рівняння теплопровідності у будь-якій з наведених раніше формі припускає, що температура змінюється за всіма трьома координатами (тривимірна задача). На практиці часто приходиться мати справу із задачами, в яких суттєвим є зміна температура за двома або навіть за однією координати. Такі задачі носять назву відповідно двовимірної та одновимірної .

Рівняння теплопровідності в одновимірному випадку може бути переписане в узагальненому вигляді

, (1.16)

де n = 0; 1; 2 для відповідають декартовій, циліндричній і сферичній системі координат; х – узагальнена координата.

Для моделювання процесів теплопровідності в тілах однакової форми, але з різними властивостями і розмірами використовують безрозмірні величини:

, , .

Дата добавления: 2015-05-26