Опуклість графіка функції. Точки перегину

Графік функції називається опуклим на інтервалі , якщо він розташований вище будь-якої своєї дотичної на цьому інтервалі (рис. 7а).

Графік функції називається вгнутим на інтервалі , якщо він розташований вище будь-якої своєї дотичної на цьому інтервалі (рис. 7б).

Опуклість і вгнутість графіка функції пов'язана зі знаком другої похідної функції. Знаходження проміжків опуклості і вгнутості спирається на наступну теорему.

Теорема: Якщо у всіх точках інтервалу друга похідна функції від’ємна, тобто , то графік функції на цьому інтервалі опуклий, якщо ж , то графік функції вгнутий.

Точка графіка функції, що відокремлює опуклу частину графіка від вгнутої, називається точкою перегину.

Для знаходження точок перегину графіка функції використовують необхідну і достатню умови існування точок перегину.

Необхідна умова існування точки перегину.

Якщо – абсциса точки перегину графіка функції , то друга похідна в цій точці або дорівнює нулю, або не існує, тобто або не існує.

Точки, у яких друга похідна дорівнює нулю або не існує (зокрема, точки розриву функції), називаються критичними точками другого роду.

Зауваження: Зворотне твердження не завжди є вірним, тобто якщо або не існує, то точка з абсцисою може і не бути точкою перегину.

Достатня умова існування точки перегину.

Якщо друга похідна при переході через критичну точку другого роду змінює знак, то точка з абсцисою є точкою перегину графіка функції.

Схема дослідження функції на

проміжки опуклості, вгнутості й точки перегину:

1. Знайти область визначення функції .

2. Знайти першу похідну .

3. Знайти другу похідну .

4. Знайти критичні точки ІІ роду.

5. Розбити критичними точками ІІ роду область визначення функції на інтервали.

6. Визначити знак другої похідної на кожному із інтервалів (методом підстановки значень аргументу або методом інтервалів).

7. Визначити проміжки опуклості (вгнутості) графіка функції.

8. Визначити, використовуючи достатню ознаку, які із критичних точок другого роду є точками перегину.

9. Обчислити значення функції в отриманих точках перегину.

10.Результати оформити у вигляді таблиці.

Дата добавления: 2015-05-26