Приклад 22

Провести повне дослідження функцій і побудувати їхні графіки:

а) ; б) .

Розв’язок.

а) .

1. Область визначення функції.

Функція визначена при всіх значеннях , крім тих, у яких знаменник перетворюється в нуль, тобто

, .

Область визначення функції .

2. Неперервність функції.

Функція визначена при всіх значеннях , крім . Отже, точки і – точки розриву функції. Дослідимо точки розриву, знайдемо односторонні границі функції в зазначених точках.

;

;

;

.

Оскільки односторонні границі дорівнюють , то в точках і функція має розриви другого роду. Отже, графік функції має дві вертикальні асимптоти і .

3. Парність, непарність.

Оскільки , то функція непарна і її графік симетричний відносно початку координат.

4. Періодичність.

Оскільки не існує значення ,при якому виконується рівність , то функція неперіодична.

5. Точки перетину із осями координат.

Точки перетину графіка функції із координатними вісями шукаємо, дорівнюючи аргумент і функцію нулю.

Із віссю : ; ; .

Точка перетину графіка функції із віссю має координати: .

Із віссю : .

Точка перетину графіка функції із віссю має координати: .

Отже, графік функції проходить через початок координат, інших точок перетину графіка функції із координатними вісями немає.

6. Проміжки зростання, спадання функції, екстремуми.

Знаходимо першу похідну:

.

Знаходимо критичні точки першого роду:

; .

Розіб'ємо область визначення критичними точками першого роду на інтервали і визначимо в кожному з них знак похідної .

		– 1
	+	не існує	+		+	не існує	+
	↗	не існує	↗		↗	не існує	↗

Оскільки при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то екстремуму немає.

7. Проміжки опуклості, вгнутості, точки перегину.

Знаходимо другу похідну:

.

Знаходимо критичні точки другого роду: ;

; ; .

Розіб'ємо область визначення критичними точками другого роду на інтервали і визначимо в кожному з них знак другої похідної .

		– 1
	+	не існує	–		+	не існує	–
	È	не існує	Ç		È	не існує	Ç

точка

перегину

Оскільки при переході через критичну точку друга похідна змінює знак, то – абсциса точки перегину. Точка перегину: .

8. Похилі асимптоти.

Рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді . Обчислимо значення параметрів і (для дрібно-раціональної функції границі будуть однакові при ).

;

.

Оскільки і , то графік функції має горизонтальну асимптоту (вісь ).

9. Побудова графіка.

Побудуємо графік функції, з огляду на пункти 1-8 (рис. 9).

Додатково знайдемо кілька точок графіка функції:

	–3	–2	–1,5	–0,5	0,5	1,5
	0,38	»0,67	1,2	»–0,67	»0,67	–1,2	»–0,67	–0,38

б) .

1. Область визначення функції.

Логарифмічна функція визначена при , крім цього знаменник не може дорівнювати нулю , тобто .

Тоді область визначення функції має вигляд: .

2. Неперервність функції.

Оскільки функція не визначена в точці , то це точка розриву. Дослідимо характер точки розриву, знайдемо односторонні границі функції.

;

.

Оскільки односторонні границі дорівнюють , то в точці функція має розрив другого роду. Отже, функція в цій точці має вертикальну асимптоту .

Дослідимо також поводження функції на границі області визначення:

.

Це означає, що при справа графік функції прагне до точки .

3. Парність, непарність.

Оскільки і , то функція ні парна ні непарна, тобто загального вигляду.

4. Періодичність.

Оскільки не існує значення ,при якому виконується рівність , то функція неперіодична.

5. Точки перетину із вісями координат.

Із віссю : ; ; .

Оскільки отримана система не має розв’язку, це означає, що точок перетину графіка із віссю немає.

Із віссю : оскільки не належить області визначення, то точок перетину із віссю немає.

Графік функції не перетинає координатні вісі.

6. Проміжки зростання, спадання функції, екстремуми.

Знаходимо першу похідну:

.

Знаходимо критичні точки першого роду:

; ; ; .

Розіб'ємо область визначення критичними точками першого роду на інтервали і визначимо в кожному із них знак похідної .

				е
	–	не існує	–		+
	↘	не існує	↘	2е	↗

min

Оскільки при переході через критичну точку похідна змінює знак із «–» на «+», то в цій точці – мінімум функції.

Знайдемо значення функції в точці : .

7. Проміжки опуклості, вгнутості, точки перегину.

Знаходимо другу похідну:

.

Знаходимо критичні точки другого роду: .

; ; .

Розіб'ємо область визначення критичними точками другого роду на інтервали і визначимо в кожному із них знак другої похідної .

	–	не існує	+		–
	Ç	не існує	È	е ^2	Ç

точка

перегину

Оскільки при переході через критичну точку друга похідна змінює знак, то – абсциса точки перегину.

Знайдемо значення функції в точці :

.

8. Похилі асимптоти.

Обчислимо значення параметрів і (з огляду на область визначення функції можна розглядати лише випадок при ).

;

.

Оскільки , то графік функції похилих асимптот не має.

Дослідимо поведінку функції при :

(дивись вище знаходження параметра ).

9. Побудова графіка.

Побудуємо графік функції, з огляду на пункти 1-8 (рис. 10).

Додатково знайдемо кілька точок графіка функції:

	0,5	1,5
	»–1,44	»7,4	»5,77	»6,21	»7,69	»9,11

Дата добавления: 2015-05-26