Пример 3.19. Сложим и перемножим два нечетких числа, имеющих вид

Я,

Пример 3.18

Сложим и перемножим два нечетких числа, имеющих вид

*■%+¥

В соответствии с формулой (3.103) получаем

min(0,7; 0,8) max{min(0,7;1),min(1;0,8)} ------------------- Н------------------------------------------------------ О D

max {min(1; 1), min(0,6; 0,8)}

. min(0,7;0,8) min(0,7;1) min(1;0,8)

A eA₂=------- ------ +----- -— +------------

max {min(0,7; 0,5), min(1; 1), min(0,6; 0,8)} 12

min(0,6;1) min(1;0,5) min(0,6;0,5) _
^{+ + +} 24

0,7 0,7 0,8 1 0,6 0,5 0,5

(3.113)

_!_ +---- +------- h —+------- h---- +------

6 8 9 2 16 18 24

В приведенном примере мы сложили и перемножили два нечетких числа (3.110) и (3.111), получив в качестве суммы нечеткое множество (3.112), а в качестве произведения - нечеткое множество (3.113). Легко проверить, что нечеткие множества (3.112) и (3.113) являются нормаль­ными и выпуклыми, и что они представляют собой нечеткие числа. Одна­ко результатом арифметических операций над нечеткими числами не всегда оказывается нечеткое число. Например, в результате умножения нечетких чисел (3.95) и (3.96) получается нечеткое множество (3.98), ко­торое не является нечетким числом, поскольку оно не отвечает условию выпуклости. Эта проблема устраняется тогда, когда операции выполня­ются над нечеткими числами, имеющими непрерывные функции принад­лежности, что утверждается следующей теоремой:

Теорема 3.2 (Дюбуа и Прейда [9])

Если нечеткие числа А-, и А₂ имеют непрерывные функции принад­лежности, то результатом арифметических операций суммирования, вы­читания, умножения и деления будут нечеткие числа.

Мы обсудили основные двухаргументные (бинарные) операции на нечетких множествах. Одноаргументные (унарные) операции определя­ются также с помощью принципа расширения. Если f- отображение

(3.114)

f:R-»R

(3.115)

AcR,y= f{x), то в соответствии с формулой (3.90) получаем

_| max {min(0,7; 0,5), min(0,6; 1)} min(1;0,5) min(0,6;0,5)

0,7 0,8 1 0,6 0,5 0,5

= — н------- + —i------- н------- 1-— —

5 6 7 8 9 10

На основании выражения (3.107) получаем

(3.112)

fl()

Приведем теперь несколько примеров унарных операций на нечет­ких числах.

1. Операция изменения знака. В результате операции f{x) = -x по­лучаем нечеткое число, противоположное нечеткому числу /icR. Это число обозначается -А с R, а его функция принадлежности равна

Нечеткие числа А и - А симметричны относительно оси х.

Глава 3. Нечеткие множества и нечеткий вывод

3.5. Нечеткие числа

2. Операция обращения. В результате операции f(x) = x~\x*0, по­лучаем нечеткое число, обратное нечеткому числу А с R. Это число обо­значается A"¹ cR,a его функция принадлежности равна

а также

(3.125)

-1>

(3.117)

Предполагается, что нечеткое число А положительно или отрица­тельно. Если А таковым не является, то нечеткое множество 6 = f{A) = А~¹ не выпукло и, следовательно, В не может считаться нечетким числом.

3. Операция масштабирования. В результате операции f{x) = X^х, Х?0, получаем нечеткое число, масштабированное относительно нечет­кого числа А с R. Это число обозначается ХА с R, а его функция принад­лежности равна

По этой причине для нечетких систем характерно отсутствие не­четких чисел, противоположных или обратных относительно суммирова­ния и умножения. Этот факт, в частности, делает невозможным примене­ние метода исключения для решения уравнений, в которых присутствуют нечеткие числа.

Арифметические операции над нечеткими числами требуют прове­дения достаточно сложных вычислений. Поэтому Дюбуа и Прейд [8] пред­ложили некоторую частную форму представления нечетких чисел при по­мощи трех параметров, что значительно упрощает нечеткую арифметику. Пусть L и Р - функции, выполняющие отображение

4. Операция экспонирования. В результате операции f(x) = е", х > О, получаем степень нечеткого числа А с R. Это число обозначается е^А с R, а его функция принадлежности равна

(3.119)

О

для х>0, для х < 0,

поэтому е^А - положительное нечеткое число.

5. Операция расчета абсолютного значения. Абсолютное значение нечеткого числа А с R обозначается \а\ с R и определяется как

Для х>0 для х<0

(3.120)

_ j ^max(j"/i(x).
1 0

Очевидно, что \а\- положительное нечеткое число.

Если

(_оо_)ТО)_»[о, 1]

и удовлетворяющие условиям:

) Р

2) ЦО) - '

3) L и Р- функции, невозрастающие на интервале [О,
В качестве примеров функций L и Р можно привести

е~'^х|Р, р > 0,

р>0

= Р(х) = -

Цх) = Р(х) = тах(0,1-1 х |^р), р > 0,

(3.126)

(3.127) (3.128)

(3.129)

то нечеткое число - А имеет вид

0,7

-5 -2 -1

тогда как нечеткое число А~¹ записывается в виде

0,5 1

(3.121)

(3.122)

(3.123)

Приведем теперь определение нечеткого числа типа L-P.

Дата добавления: 2015-06-04