Демонстрационные примеры. Вопросы для теоретической подготовки

Вопросы для теоретической подготовки

Тема 2. Случайное событие и его вероятность

Ø Цель: выработать навыки вычисления вероятности случайного события, научить решать основные задачи комбинаторики.

1. Что называется случайным событием? Какое событие называется невозможным, достоверным?

2. Что называется исходом испытания? Какие исходы называются равновероятными?

3. Что называется вероятностью случайного события и как она определяется? Классическое определение вероятности.

4. Геометрическое определение случайного события и его вероятности.

5. Статистическое определение вероятности. Свойства.

Пример 1. В туристическом агентстве предлагаются 20 вариантов путевок, среди которых 2 ненадежных варианта. Покупатель выбирает наудачу три варианта путевок. Какова вероятность того, что выбраны только надежные путевки?

Решение. Вероятность искомого события вычисляется по классической формуле Р = m/n, где n – общее число вариантов выбора трех путевок из двадцати, а m – число вариантов выбора трех надежных путевок. Эти числа определяются с помощью сочетаний

Пример 2. Стрелок стреляет в круглую мишень радиуса R = 3 см, разделенную на три части двумя концентрическими окружностями радиуса r ₁ = 1 см и r ₂ = 2 см. Найти вероятность того, что стрелок попадет в кольцо между этими окружностями, если вероятность попадания в кольцо пропорциональна его площади и не зависит от его расположения.

Решение. Вероятность искомого события вычисляется с помощью геометрического определения вероятности Р = Площадь кольца / Площадь мишени. Площадь кольца равна p (r ₂² – r ₁²), а площадь мишени равна pR². Поэтому получается результат Р = (r ₂² – r ₁²)/ R ² = 1/3.

Задания для самостоятельного решения

1. В студенческой группе 15 девушек и 5 юношей. Для участия в КВН наудачу выбраны 5 человек. Какова вероятность того, что выбраны 5 девушек? (1001/5168).

2. В студенческой группе 12 человек, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 7 студентов. Какова вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников? (14/33).

3. В колоде 36 карт. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу двух карт окажется:

а) король и туз. (8/315);

б) некозырной туз и любой козырь. (3/70);

в) либо тузы, либо козыри? (11/105).

4. В кодовом замке 10 кнопок, на каждой из которых написана цифра от 0 до 9. Замок открывается только в том случае, если нажаты три разные кнопки в определенном порядке. Какова вероятность того, что при произвольном нажатии трех кнопок замок можно будет открыть? (1/720).

5. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Какова вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость:

а) оказалась дублем. (2/9);

б) не есть дубль? (4/9).

6. На полке случайным образом расставлены n книг. Какова вероятность того, что два тома «Курса высшей математики» окажутся рядом? (2/ n).

7. Лифт останавливается на первых восьми этажах. Какова вероятность того, что из четырех человек, зашедших в кабину на первом этаже, один выйдет на пятом этаже, а остальные – на восьмом? (1/210).

8. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями? (0,75).

9. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а наудачу брошена монета радиуса r < а / 2. Какова вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата? ((а – 2 r)²/ а ²).

10. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение ¼ часа, после чего уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится, если каждый приходит наудачу между 12 и 13 часами дня? (7/16).

Дата добавления: 2015-06-25