Составление планов экспериментов для проведения двухфакторного дисперсионного анализа

Составление планов экспериментов для проведения однофакторного дисперсионного анализа

Дисперсионного анализа

Составление планов эксперимента для проведения

Общим требованием к планированию любого эксперимента для проведения дисперсионного анализа является выполнение условия m_j > 1. Желательно, чтобы план эксперимента для проведения дисперсионного анализа предусматривал:

1) широкую область изменения значений факторов x _j,

2) большое число m_j значений (уровней) факторов x _j, при этом разница между уровнями должна быть больше абсолютной погрешности их измерения.

Остальные требования к составлению плана эксперимента зависят от числа исследуемых факторов и выбранного числа опытов.

Введем следующие обозначения:

А	- исследуемый фактор;
m	- максимальное число разных уровней фактора А;
v	- номер уровня фактора А;
а	- конкретное значение (качественное или количественное) уровня фактора А (v = 1…m);
n	- максимальное число повторений каждого опыта при одном значении фактора А;
i	- номер повторного опыта при одном значении фактора А;
N	- общее число опытов при эксперименте.

Тогда при одинаковом числе повторений опытов для каждого уровня фактора А:

N = mn.

Классической формой плана для проведения однофакторного дисперсионного анализа является таблица (табл. 8). Условные обозначения уровней фактора часто называют "кодированными" значениями фактора, а реальные значения (качественные или количественные) - натуральными значениями.

Таблица 8

План эксперимента для проведения однофакторного дисперсионного анализа с кодированными значениями уровней фактора А

Номер повтор­ного опыта	Значения y при уровне фактора А
a1	a2	...	az	...	am-1	am
...
i
...
n-1
n

Очевидно, что число пустых клеточек в табл. 8 соответствует общему числу опытов в эксперименте (N). В эти клеточки после проведения соответствующего опыта заносят измеренное значение свойства объекта y.

Двухфакторный дисперсионный анализ предусматривает возможность проведения экспериментов без повторения опытов. Если обозначить второй фактор В, максимальное число его уровней w и номер уровня q, то общее число опытов в плане эксперимента без повторения опытов будет равно:

N = mw.

Классический план такого эксперимента (табл. 9) является планом полного факторного эксперимента ( ПФЭ), так как в нем предусмотрены опыты со всеми возможными сочетаниями различных уровней всех факторов.

Более понятным для выполнения является развернутый план эксперимента. Развернутый план получают из классического плана, присвоив в случайном порядке (принцип рандомизации) номера опытов каждой пустой ячейке табл. 9. Условия проведения каждого опыта (табл. 10) определяются исходя из того, какие столбец и строка (уровни фактора А и В) совмещаются в ячейке с данным номером опыта.

Если в плане эксперимента предусмотреть повторение каждого опыта, то тогда при проведении дисперсионного анализа результатов измерений y можно оценить влияние на данное свойство объекта эффекта одновременного изменения двух факторов (эффектов " взаимодействия " факторов). Эффекты взаимодействия могут иметь синергетический (взаимоусили­вающий) или антагонистический (взаимоослабляющий) характер влияния одновременного изменения факторов x _j на свойство y.

Таблица 9

План эксперимента для проведения двухфакторного дисперсионного

анализа с кодированными значениями уровней факторов

Уро­вень факто­ра В	Значения y при уровне фактора А
a1	a2	...	az	...	am-1	am
b1	№ 8	№ 3	...	№1	...	...	...
b2	...	№5	...	...	...	...	№ 7
...	...	...	...	...	...	...	...
bq	№ 4	...	...	...	...	...	...
...	...	...	...	...	...	...	...
bw-1	№ 2	№ mw	...	...	...	...	...
bw	...	№ 6	...	...	...	...	...

Таблица 10

Развернутый план эксперимента для проведения двухфакторного

дисперсионного анализа с кодированными значениями уровней факторов

Номер опыта	Кодированные значения уровня фактора	Значение y
А	В
	az	b1
	a1	bw-1
	a2	b1
	a1	bq
	a2	b2
	a2	bw
	am	b2
	a1	b1
...	...	...
mw	a2	bw-1

5.2.2.3. Составление планов экспериментов для проведения
многофакторного дисперсионного анализа

При многофакторном эксперименте одновременно изменяются три и более факторов. Общее число опытов (без их повторений) для ПФЭ с k изменяемыми факторами (если каждый из них имеет одно и то же максимальное число уровней m) будет равно:

N_ПФЭ= m^k.

Очевидно, что с увеличением числа исследуемых факторов (k) общее число опытов в эксперименте будет резко возрастать. Поэтому при многофакторных экспериментах часто применяют планы дробных факторных экспериментов (ДФЭ), которые предусматривают выполнение опытов только с частью всех возможных сочетаний различных уровней всех факторов. Долю общего числа опытов ДФЭ (N_ДФЭ) от N_ПФЭ называют степенью дробности ДФЭ.

Необходимо помнить, что сокращение числа опытов в эксперименте, т.е. переход от ПФЭ к ДФЭ, всегда приводит к снижению точности дисперсионного анализа результатов эксперимента.

Существуют различные принципы составления и типы планов ДФЭ: составление планов по принципу дробных реплик, латинских квадратов и кубов, планы Плакетта-Бермана и др. Эти планы относятся к планам математического планирования эксперимента, так как при их построении сочетание уровней факторов в опытах (выбор части опытов из планов ПФЭ) происходит не произвольно, а по определенным принципам математической комбинаторики.

Планы ДФЭ широко применяются при отсеивающих экспериментах, т.е. тогда, когда необходимо изучить достаточно большое число факторов при небольшом числе опытов и определить те факторы, которые оказывают наиболее сильное влияние на свойство y. Одними из самых экономичных по числу опытов и эффективных для дисперсионного анализа из известных планов ДФЭ являются планы Плакетта-Бермана.

В качестве примера приведу порядок выбора и составления плана 10-факторного эксперимента (k =10). С целью экономии числа опытов в эксперименте возьмем наименьшее число уровней всех факторов (m_j = m = 2) и откажемся от проведения повторных опытов (n_z,j = n = 1). Тогда для проведения ПФЭ необходимо будет выполнить следующее число опытов:

N_ПФЭ = m^k = 2¹⁰ = 1024.

Из известных 2-уровневых планов ДФЭ оценим число опытов для планов по принципу дробных реплик ПФЭ (ДР) и планов
Пла­кетта-Бермана (ПБ):

N_ДР = 2^k-a = 2^10-a, где а равно 1, 2, 3,...,10 и соответственно N_ДР равно 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1;

N_ПБ = 4b, где b равно 1, 2, 3,..., ¥ и соответственно N_ПБ равно 4, 8, 12,... ¥.

Из таких 2-уровневых планов можно выбирать только те, для которых выполняется соотношение:

N ³ k+1 ³ 10+1 ³ 11.

Требованиям этого соотношения и минимального числа опытов лучше всех удовлетворяет план Плакетта-Бермана с N_ПБ = 12. Построим такой план с кодированными факторами, обозначая знаком "+" одно из двух натуральных значений каждого из факторов, а знаком "-" другое значение. Например, примем следующие обозначения (табл. 11).

Таблица 11

Значения факторов

Фактор	Значения факторов
натуральные (Хj) и их размерность	кодированные (xj)
Время реакции	130 мин	+
100 мин	-
Тип катализатора	Катализатор № 3	+
Без катализатора	-
...	...	...
Температура реакции	90^ОС	+
60^ОС	-

Тогда план эксперимента типа N_ПБ = 12 (план Плакетта-Бермана) будет следующим (табл. 12).

При построении данного плана в ячейки последнего опыта с
N = k+1(№ 12) заносится кодированное значение (-) для всех факторов. Затем во втором столбце плана (для х ₁) по рекомендациям литературы [8,9] или по случайному принципу в ячейках располагается 6 (k/2) знаков (+) и 5 (k/2-1) знаков (-). Ячейки последующего столбца получаются из предыдущего. Первая ячейка последующего столбца является предпоследней ячейкой предыдущего столбца, а остальные первые k-2 ячейки предыдущего столбца переносятся под первую ячейку последующего столбца (со сдвигом по диагонали плана слева-направо-вниз).

Таблица 12

План эксперимента типа N_ПБ = 12

Номер опыта n

Кодированные значения факторов

y

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11 (*)

x12 (*)

+

-

+

-

-

-

+

+

+

-

+

+

+

+

-

+

-

-

-

+

+

+

-

+

-

+

+

-

+

-

-

-

+

+

+

-

+

-

+

+

-

+

-

-

-

+

+

+

+

+

-

+

+

-

+

-

-

-

+

+

+

+

+

-

+

+

-

+

-

-

-

+

-

+

+

+

-

+

+

-

+

-

-

-

-

-

+

+

+

-

+

+

-

+

-

-

-

-

-

+

+

+

-

+

+

-

+

-

+

-

-

-

+

+

+

-

+

+

-

+

-

+

-

-

-

+

+

+

-

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

* Фиктивные факторы, используемые для расчета случайных ошибок эксперимента.

Правильность построения плана Плакетта-Бермана определяется двумя признаками:

1. Диагональным расположением одинаковых знаков в ячейках плана.

2. Равенством количества знаков (+) и (-) в каждом столбце плана.

План с натуральными значениями факторов получается из плана с кодированными значениями путем замены знаков (+) и (-) на соответствующие им натуральные значения для каждого фактора.

Примеры составления других планов многофакторного ДФЭ для проведения дисперсионного анализа и алгоритмы математической обработки результатов эксперимента изучите самостоятельно [8].

Проведение дисперсионного анализа можно легко осуществить с помощью ПЭВМ с использованием различных общепризнанных статистических программных продуктов: STATGRAPHICS, STADIA [7], STATISTICA и др.

Дата добавления: 2015-06-26