Линейные однородные ДУ n-го порядка

Полученные результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид

. (1.18)

1. Если функции , ,…., , являются частными решениями уравнения (1.18), то его решением является и функция .

2. Функции называются линейно независимыми на , если равенство выполняется лишь в случае, когда все числа ; в противном случае (если хотя бы одно из чисел не равно нулю) функции - линейно зависимы.

3. Определитель Вронского имеет вид

.

4. Частные решения уравнения (1.18) образуют фундаментальную систему решений на , если ни в одной точке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е. для всех .

5. Общее решение ЛОДУ (1.18) имеет вид ,

где - произвольные постоянные, - частные решения уравнения (1.18), образующие фундаментальную систему.

Пример 1.6. Показать, что функции , , образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ третьего порядка (дополнительно: составить это уравнение).

Решение: Найдем W(x):

.

Ясно, что для всех . Следовательно, данные функции образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего порядка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так:

.

Подставив функции в это уравнение, получим систему из трех уравнений относительно функций , , . Решая ее, получим ЛОДУ ; его общее решение:

.

Дата добавления: 2015-06-04