Степеневий ряд

Послідовності і ряди комплексних чисел.

Означення: Послідовністю комплексних чисел називається пронумерована нескінченна множина комплексних чисел і позначається символом

.

Означення: Число називається границею послідовності , якщо

, ,

виконується нерівність .

Позначається цей факт символом .

Теорема 1. Необхідною і достатньою умовою збіжності послідовності , є збіжність послідовностей дійсних чисел , .

Доведення можна знайти в [1, с. 19].

Приклад: , , , тоді , , .

Завдяки цій теореми всі властивості збіжних послідовностей дійсних чисел переносяться на випадок комплексних чисел.

Ряд , де комплексні числа, називається числовим рядом з комплексними членами і позначається , – часткова сума ряду.

Означення: Ряд називається збіжним, якщо збігається послідовність його часткових сум . Границя називається сумою ряду .

З теореми 1 випливає, що ряд збігається тоді і тільки тоді, коли збігаються ряди дійсних чисел , .

При цьому отримуємо: .

Ряди вигляду , , , називають степеневими рядами з центром . Множину точок, для яких степеневий ряд збігається називають областю збіжності ряду. При цьому областю збіжності степеневого ряду є круг , де , , якщо границя кінцева і відмінна від нуля. Якщо границя дорівнює , то , якщо границя дорівнює 0, то .

Детальне викладення матеріалу можна знайти в [1, 2, 3].

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд та обчислити його суму.

Розв’язання. Ряди і збігаються, так як вони є нескінченно спадними геометричними прогресіями.

.

Приклад 2. Знайти область збіжності ряду .

Розв’язання. , , ,

тобто , відповідно .

Область збіжності круг .

Вправи:

Дослідити збіжність рядів. Знайти область збіжності.

1. 2. 3. 4. 5.

1. 2. 3. 4. 5.

Дата добавления: 2015-06-04