Применение монотонных решающих правил

Статистическая игра с конечным множеством решений , в которой есть подмножество вещественной прямой, называется монотонной статистической игрой, если для некоторого упорядочивания существуют такие числа

,

что функция потерь удовлетворяет соотношениям:

,

.

Эти неравенства означают, что если , то наиболее предпочтительным является решение . Таким свойством обладают, например, многие прикладные задачи проверки статистических гипотез.

Для монотонной статистической игры с выборочным пространством на вещественной прямой решающее правило называется монотонным, если существуют такие числа (при допустимых значениях ), что при и в остальных случаях, . Таким образом, монотонное решающее правило является нерандомизированным и решение принимается лишь тогда, когда .

Говорят, что семейство распределений действительной случайной величины с действительным имеет монотонное отношение правдоподобия, если для , отношение является монотонно неубывающей функцией от , то есть, если для любых и .

Теорема. Если в монотонной статистической игре семейство распределений наблюдаемой случайной величины имеет монотонное отношение правдоподобия, то монотонные решающие правила образуют существенно полный класс.

Следствие. В условиях Теоремы байесовское решающее правило относительно любого априорного распределения на может быть описано монотонным решающим правилом.

Пример. Пусть , , функция потерь имеет вид (при заданном ):

и наблюдается выборка объёма из нормального распределения со средним и единичной дисперсией. Решим эту статистическую игру.

Достаточной статистикой для является среднее арифметическое значение выборки , причём . Игра является монотонной с и ввиду монотонности отношения правдоподобия для нормальных распределений случайной величины (проверьте это!) любое оптимальное решающее правило можно построить, задавая критическую точку , такую, что при и при . Вычислим риск этого решающего правила:

Нетрудно убедиться, что для риск достигает наибольшего значения при или :

.

Далее, достигается при

.

Подставляя плотность нормального распределения , получаем минимаксное решающее правило и значение статистической игры , где - интеграл вероятностей. Наименее благоприятное априорное распределение отдаёт всю свою вероятностную массу двум точкам и с .

Заметим, что тот же результат проще получить, используя принцип инвариантности. Наша статистическая игра инвариантна относительно конечной группы преобразований , . Поэтому минимаксное решающее правило будет инвариантным монотонным правилом с .

Дата добавления: 2015-06-27