На основании мнений дегустаторов нужно определить оптимальное соотношение жира и белков в молочной колбасе

Использование нечетких множеств.

Согласно техническим условиям молочная колбаса высшего сорта должна содержать:

Жира: 13,5 -15,5 %, Белков: 14,6 – 15,4%. Нескольким дегустаторам было поручено определить наиболее предпочтительное вкусовое содержание этих составляющих в заданных т.у. пределах. При этом от них требовалась следующая четырех балльная оценка: Вкусно – 1, Скорее вкусно, чем невкусно – 0.8, Скорее невкусно, чем вкусно – 0.3, Невкусно – 0.

После статистической обработки (определялось среднее арифметическое их ответов) были получены матрицы оценок, приведенные на рис.1

для белков для жира

Рис.1. матрицы оценок содержания жира и белков в молочной колбасе.

Здесь в первой строке – процентное содержание жира или белков, а во второй – оценка вкуса колбасы экспертами.

1. Сначала составим аналитические зависимости для обеих матриц.

Каждая матрица является нечетким множеством, поэтому мы будем опрделять для них функции принадлежности. Рассмотрение первой матрицы показывает, что она хорошо аппроксимируется нормальным законом распределения

где M[x] – математическое ожидание случайной величины x, s² –ее дисперсия, а С – константа. Мы обозначим y как mg(g,A1,B1), где g- значение случайной величины, А1- величина, обратная дисперсии, В1- математическое ожидание. Имеем:

. (1)

Численные значение В1 определим как среднее арифметическое нулевой (счет в Маткаде начинается с 0) строки матрицы жира, а численное значение А1 – как статистическую дисперсию этой строки. В Маткаде среднее арифметическое вычисляется функцией mean (v), где v – вектор- столбец, а статистическая дисперсия функцией stdev (v). У нас же имеется строка, а не столбец. Поэтому введем вспомогательный вектор –строку v1, которую потом транспонируем. В формуле (2) каждому элементу вектора – столбца v1 присваивается значение соответствующего элемента нулевой строки матрицы жиров:

. (2)

Затем вычисляем эти значения, транспонируя вектор – строку v:

.

Здесь т – индекс транспонирования.

График полученной функции принадлежности на рис.2 показывает, что она хорошо аппроксимирует экспериментальные точки.

Рис.2. График аналитического выражения для функции принадлежности жира.

Рассмотрим теперь вторую матрицу рис.1. Мы видим, что левая часть ее второй строки является константой, а правая примерно подчиняется нормальному закону. По-видимому, при аппроксимации функции принадлежности аналитическим выражением логично задаться для левой части единицей, а для правой – нормальным законом распределения.

Для определения параметров нормального закона составим симметричную вспомогательную матрицу μ20, приведенную на рис.3.

Рис.3. Вспомогательная матрица

Повторяя все действия, проведенные для матрицы μ1, определим параметры нормального закона распределения для матрицы μ20:

1.Зададимся законом распределения

где b – количество белков в колбасе, сформируем вспомогательный вектор v2 и найдем значения коэффициентов А2 и В2:,

Теперь создадим аналитическое выражение для функции принадлежности матрицы белка, назвав ее m (b,A2,B2). Введем после функции принадлежности для белков последовательность чисел b и используем условный оператор Маткада IF.

Если b меньше или равно 15, то функция принадлежности равна 1, в противном случае она равна вспомогательной функции.

График полученной функции принадлежности и аппроксимируемые точки приведены на рис.4.

Рис.4 График аналитического выражения функции принадлежности для белков

Для определения оптимального содержания и жиров и белков в колбасе нам нужно найти теперь пересечение обеих функций принадлежности и определить максимум новой, трехмерной функции принадлежности.

Пересечение ищем в виде функции двух переменных μgb (g,b), используя функцию Маткада min.

Трехмерный график новой функции принадлежности и его построение представлены на рис.6.

Функция m (g,b) показывает, как по мнению дегустаторов, вкус колбасы зависит от содержания белка и жира. Естественно, мы хотим определить такое количество жира и белков в колбасе, чтобы она была как можно вкуснее, т.е. определить максимум этой функции.

Для нахождения максимума этой функции, т.е. оптимального с точки зрения экспертов содержания жира и белков в молочной колбасе, составим небольшую программу, приведенную на рис.5.

Для нахождения максимума мы, исходя из графика функции, рассматриваем содержание жира от 10 до 30% и содержание белка от 5 также до 30%. Каждый из этих участков мы делим на 500 отрезков и вычисляем значение вкуса для каждого сочетания значений жира и белка, т. е. g=10, b=5; g=10,b= 5.05; g=10,b=5.1;….g=10.04,b=5;g=10.04,b=5.05….. и т.д. Вычисленное значение вкуса – d (начальное значение d = 0) мы сравниваем с предыдущим и запоминаем в векторе G={G₀, G₁, G₂} все вычисленные величины только в том случае, если новое значение d больше предыдущего. В вычисленном векторе G первый элемент – максимальное значение функции, второй – оптимальное с точки зрения экспертов содержание жира, а третий – оптимальное содержание белков в молочной колбасе.

Рис.5. Программа вычисления максимума трехмерной функции принадлежности

Рис. 6. График трехмерной функции принадлежности.

ЗАДАНИЕ 1. Внимательно разобраться в изложенном выше материале. Пользуясь изложенным материалом, решить задачу.

Дата добавления: 2015-06-27