Метод компаундинга

Принятие и обоснование любого управленческого решения связано прямо или косвенно с финансовыми потоками (поступлением и расходованием денежных средств), количественный анализ которых сводится к исчислению:

- будущей стоимости потока денежных средств (FV_n);

- текущей (современной) стоимости потока денежных средств (PV_n).

Движение денежного потока от настоящего к будущему называется процессом наращения или методом компаундинга, сущность которого состоит в определении суммы денег, которую будет иметь инвестор в конце финансовой операции. Эта величина называется будущей стоимостью денежных потоков. Заданными величинами здесь являются первоначальная сумма инвестиций, срок инвестиций, процентная ставка доходности, а искомой величиной - сумма средств, полученная после завершения операции.

Любой инвестор, осуществляя инвестиции, рассчитывает нарастить капитал, получив определённый прирост. В этой связи актуальной становится проблема определения будущей стоимости вложенных средств – стоимости, полученной в результате наращения первоначальной суммы через некоторый период времени. Если некоторая сумма PV предоставлена в долг, то через какое-то время t будет возвращена большая сумма FV, и если r – ежегодная ставка процента, тогда будущая стоимость после первого года одного прироста будет составлять:

FV_t = PV + (PV * r);

FV_t = PV * (1 + r),

где FV – будущая стоимость в конце первого инвестиционного периода;

PV – настоящая стоимость в конце первого инвестиционного периода;

r – норма доходности, на которую возрастает капитал инвестора.

Процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки или как однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Существуют две схемы начисления процентов:

- начисление процентов по простой ставке;

- начисление процентов по ставке сложных процентов.

Начисление процентов по простой ставке исчисляется с начальной суммы инвестированного капитала, которая принимается за базу начисления процента, которая не изменяется. Таким образом, если начальный капитал =PV, требуемая доходность – r, то инвестированный капитал ежегодно будет возрастать на величину PV * r. Деньги, инвестированные на два и более периода, то величина инвестированного капитала будет равна:

FV₂ = PV + PVr + PVr;

FV₂ = PV(1 + 2r),

где FV₂ – будущая стоимость инвестиций в конце второго инвестиционного периода.

В конце n-го периода будущая стоимость на условиях простых процентов рассчитывается по формуле:

FV = PV(1 + nr)

Пример: Инвестор вложил на три года 100 тыс. руб. в банк, который выплачивает 10% годовых. Надо определить, какую сумму он получит то через три года при начислении процентов по простой ставке. Он получит:

FV = 100* (1 + 3*0,1) = 130 тыс. руб.

Начисление сложных процентов производится в конце каждого периода на постоянно изменяющуюся базу, то есть на основную сумму долга с добавлением начисленных процентов за предыдущие периоды, не востребованных инвестором (капитализированные процентные суммы). Размер инвестированного капитала для первого года будет равен:

FV₁ = PV + PVr = PV(1+r);

К концу второго года:

FV₂ = PV + PVr + PVr + PVrr;

FV₂ = PV(1 + 2r + nr),

FV₂ = PV(1 + r)²,

где FV_{2 –} будущая стоимость в конце второго инвестиционного периода.

В конце n-го периода будущая стоимость по формуле сложных процентов определяется по формуле:

FV = PV(1 + r)ⁿ.

Это базовая формула называется формулой сложных процентов (компаундинг), а элемент (1 + r)ⁿ – коэффициентом наращения будущей стоимости или компаунд-фактором.

Если n=0, то:

FV = PV(1 + r)⁰;

FV = PV.

Экономический смысл коэффициента наращения будущей стоимости заключается в том, чтобы определить, чему будет равна одна денежная единица через n периодов при данной процентной ставке r.

Вернёмся к нашему примеру. Если инвестор вложил на три года 100 тыс. руб. в банк, который выплачивает 10% годовых, то через три года при начислении сложных процентов он получит:

за первый год: FV₁ = PV(1+r)ⁿ = 100 * (1+0,1) = 110 тыс. руб.;

за второй год: FV₁ = PV(1+r)ⁿ = 100 * (1+0,1)² = 121 тыс. руб.;

за третий год: FV₁ = PV(1+r)ⁿ = 100 * (1+0,1)³ = 133,1 тыс. руб.

Из данного примера видно, что 100 тыс. руб. сегодня равноценны 133,1 тыс. руб. через три года, или наоборот, 133,1 тыс. руб. дохода через три года эквивалентны 100 тыс. руб. на сегодняшний день при ставке рефинансирования 10%. В данном случае сумма годовых процентов каждый год возрастает по геометрической прогрессии, поскольку получаем доход как с первоначального капитала, так и с процентов, полученных за предыдущие годы.

Из приведённых примеров можно сделать следующие выводы. Если срок вклада меньше одного года и проценты начисляются однократно в конце периода, то для вкладчика более выгодными является вложения под простые вложения; если срок вклада превышает один год, то более выгодной является схема сложных процентов; если срок вклада равен одному году, то оба вида процентов обеспечат вкладчику одинаковые доходы (таблица 5.3).

Таблица 5.3-Расчёт наращенной суммы вклада (100 тыс. руб.) по ставке простых и сложных процентов (12%)

Вид процентов	Период начисления процентов
90 дней (n=1/4)	270 дней (n=3/4)	1 год (n=1)	3 года (n=3)	5 лет (n=5)
Простые
Сложные	102,9	108,9	112,0	140,5	176,2

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам необходимо учитывать количество интервалов начисления процентов. Если доходы по инвестициям начисляются несколько раз в году по ставке сложных процентов, то будущая стоимость вклада будет рассчитываться по формуле:

FV = PV(1 + r/m)^nm,

где m – число периодов начисления процентов в году.

Допустим в вышеприведённом примере (100 тыс. руб.; 10% годовых) проценты начисляются ежеквартально (m=4, n=3), тогда будущая стоимость вклада через три года составит:

FV = 100 * (1 + 0,1/4)^4*3 = 134,5 тыс. руб.

Дополнительные 1,4 тыс. руб. (134,5 – 133,1) возникли благодаря тому, что проценты начислялись не 3 раза, а 12 раз.

При ежемесячном начислении процентов через три года получим доход:

FV = 100 * (1 + 0,1/12)^12*3 = 134,8 тыс. руб.

Таким образом, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее растёт вклад. Поэтому иногда выгоднее инвестировать средства под меньший процент, но с более частым начислением.

Возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов, то есть приведение соответствующих номинальных (фиксированных) процентных ставок к их годовому эквиваленту. Это производится по формуле:

EPR = (1 + – 1,

где EPR – эффективная ставка процента (ставка сравнения);

m – число периодов начисления;

r – ставка процента.

В нашем случае эквивалентная ставка процента будет равна:

- при ежеквартальном начислении процентов:

EPR = (1 + – 1 = 0,1038 (10,38%);

- при ежемесячном начислении процентов:

EPR = (1 + – 1 = 0,1047 (10,47%);

- при ежедневном начислении процентов:

EPR = (1 + – 1 = 0,1052 (10,52%);

Рассчитывая EPR, можно сравнивать процентные ставки с разными периодами начисления процентов. Например, банк А платит по депозитам 12% годовых с полугодовым начислением процентов, а банк Б - 11% с ежемесячным начислением процентов. Нужно определить, куда выгоднее помещать вклады, для этого рассчитаем эффективные ставки процента:

- для банка А:

EPR_А = (1 + – 1 = 0,1025 (10,25%);

- для банка Б:

EPR_Б = (1 + – 1 = 0,1157 (11,57%);

Результаты расчётов показывают, то выгоднее хранить деньги в банке Б.

Оценивая целесообразность вложений финансовых средств в бизнес, инвестор стремится максимизировать сумму прибыли на объём инвестиций, то есть будущие денежные потоки (FV).

Основой расчёта настоящей стоимости денежных средств (потоков), которые инвестор готов вложить в бизнес, является ранее приведённая формула:

FV = PV(1 + r)ⁿ. Отсюда

PV = FV* .

Часто текущую (настоящую) стоимость называют дисконтированной стоимостью будущих денежных потоков. Речь о ней пойдет в следующем параграфе

Дата добавления: 2017-02-01