Лекция Ферми энергиясы. Ферми беті. 1 страница

Лекция

Лекция

Кристалдық тордағы атомдарының тербелістері.

Қатты денеде атомдар кез келген температураға, ОК қоса, тербелуді толассыз іске асырады сонымен жанында тепе – теңдік орта жайы болады. Амплитудалар жанында сондайлар үйлесімді тербелуін есептеуге болады. Жоғарылаумен амплитуда температуралары және энергиялардың тербелулері үлкейеді. Дәл осылай атомдар сияқты қатты денеде бір – бірімен күшті байланыста, анау тербелулердің қоздыруы бірінші атомдардан жақын арадағы атомдарға беріледі, өз кезегінде, өз көршілерімен және т.б. Қоздыруды тапсыратын мына процесс қатты денеде дыбысты толқындардың тарту процесіне ұқсас. Барлық тербеліс күші байланысты аралықта әртүрлі ұзындықта бірлесіп әрекет қылған серпінді толқындарының атомдары өзімен өзі жиынтықты ұсына алады, барлық кристалл көлеміне таратылады. Дәл осылай қатты зат сияқты мөлшерлермен шек қойылған, анау тап осы температура жанында тербелулердің стационарлық күй жағдай тұрған толқындардың өзімен таныстырушы суперпозициясын орналастырады (торап дыбысты толқындарға арналған қатты дене бетіне келеді).

Кристалдық тор атомдарының тербелулерімен көптеген физикалық құбылыстар байланысты қатты денелермен қызулылық, жылу өткізгіштік, термиялықтар кеңейту, электр өткізгіштік және басқалары. Үш өлшемді кристалл атомдарының тербелулердің теориясы аса күрделі болып келеді. Сондықтан біз біркелкі серпінді толқындардың таратуын алдымен қарап шығамыз және кристалдарда есепсіз олардың дискреттік құрылымын да. Бір өлшемді торға атомдардың тербелуін содан соң қарап шығамыз. Мынадан кейін алынған нәтижелер үш өлшемді кристалдық тор оқиғасы үшін жинақтап қорытамыз.

Біртекті атомнан тұратын бірөлшемді тізбектің тербелісі.

Бір өлшем үлгі ретінде қатты денелі баудың N – ның бірдей атомдардың салмағы М және атомаралық ара қашықтықта а (5.4 сурет) қайсысы орналаса алады бойлай түзу сызықта. Әрбір атом сондай жүйеге бостандық бере бір дәрежесіне ие болады, ал бостандық дәрежелесімен бәрі кетеді. Үлгі атомның құрылымы жабайы нүктесі Бравэ жағдайында атомдар трансляция векторымен анықталады. Қайда n – бүтін сан, бауда атомдарды тепе – теңдік жай көрсетеді.

Мүмкін t=0 кезең – уақыттарынында біз ығыстырдық жайдан тепе – теңдік атомды нөмері n=U ара қашықтықта U₀. Дәл осылай атомдар сияқты бауда байланыс күштерімен бір – бірімен байланыста, осындай қоздыру түрі баумен бірге таратады қысу толқынын және барлық қалған атомдар жылжытылады өз тепе – теңдік жайында.

Мейлі u_n(x,t) салыстырмалы атом t n – госы уақыттардың қайсыбір кезеңіне қызметтен алу оның нүктеде тепе – теңдік жайлары x_n=na координатасымен белгіленеді. Егер аз тепе – теңдік жайларынан атомдардың қызметтен алулары салыстырумен ара қашықтықпен болса, анау квазисерпінді атомаралық әрекеттестік күштерін есептеуге болады; Гук заңына сәйкес олар қызметтен алуларға пропорционалды. Бауда атомдар қалай байланған

Бірдей атомдардан тұратын бірөлшемді тізбек аралық серпінді серіппелермен бірге, әрбір сипатталатын серпінді тұрақтының С, ал тепе – теңдік жайы жақын маңда u_n қызметтен алуын атом тербелулері бейнелеп түсіндіреді.

Қозғалыс теңдеу атомы n табайық. Күш қорытқысын іздеп табу жанында, атом

n – ға жұмыс істей, орын күштерді тек қана қысқа қимылдарын есептейміз, бұл мынаны білдіреді, қаралатын атом бірлесіп әрекет қылады тек жақын арадағы көршілестермен (n-1) м және (n+1)-м атомдармен, әсер басқа атомдардың оған елемеуі аз. Қарапайым түрінде әсірессе мына оқиғада қозғалыс теңдеуі болады. Есепке ала ананың, не атомдар аралық әрекеттестік күштері п – мен квазишыдамды атомды нәтижелі күш істейді.

F_n=β(u_n+1-u_n)-β(u_n-u_n­1)=β(u_n+1+u_n­1-2u_n) (5.19)

Егер β айтылумен серпінді тұрақтыммен р – күш беретін тұрақты С=βa, байлаулы Fn күшін анықтап, қозғалыс теңдеуін жазып аламыз

(5.20)

Енді нормалды сәндерінің тербелісін, т.с.с. қозғалыс үлгілері, қайсыларда барлық тербелісті атомдары уақыттардың біреудің және ана жиілік ω заңымен exp(-ωt) (5.20) теңдеу шешімін іздеуде боламыз, жүгіруші толқын түрінде бұл:

U_n=u₀ exp i (kna - wt)=u₀ exp i (kx_n - wt) (5.21)

Осындай u₀ кезеңіне n=o атом қызметтен алуын анықтайды. t=o; K=2π/λ – толқынды сан; ω – тас осы сән айнала жиілігі.

Егер (5.21) толық сәннің түр нормалы n=o, жалғыз атом қызметінен алу тапсырмасымен анықталады.

Шешім ауыстыруынан кейін (5.21)

Теңдеулерге (5.20) аламыз

- Мω²=β[exp(і ка)+exp(- і ка)-2]=4β sin²(ka/2) (5.22)

Осы арадан көрінетін, не мағынасымен әрбірге к толқынды сандары айқын мағыналы тарапқа сай болады ω², мыналар жанында келудің к дәлелі жұп функциясымен, толқындарға арналған дисперсиялық арақатынас (5.22) ереді де, таратылатындардың атомдардың ұқсас ұзындығы бауда:

Сондықтан ω мүмкін емес ұзындығымен теріс, минус k теріс мағыналарының облыстары (5.23) талапқа сай болады.

Қандай да көрініп тұрған (5.23), жиілік n тербелулерінің – атомы n – ы тәуелді болмайды, ал мынаның бір мәнісі болады, не барлық тербеліс бауында атомдар біреудің және жиілікпен..5.5. тәуелділік суретке (5.23) бейнеленген.

Айтылу талдауынан (5.23) ереді, не толқынды сан мағынасы жанында , т.с.с толқындардың қысқа ұзындықтары

Жанында , тербелулердің циклдік жиілігі барынша көп мағыналары жетеді:

Мөлшерді бағалаймыз , қайда - толқындардың окустикалық тарату жылдамдығына тең. біз сәулемен қатты денелер үшін қабыл ала отыра анау а=3·10^-10м, онда k=π/а=10¹⁰м^-1 және ωmαx≈5·10³·10¹⁰≈5·10¹³с^-1, не мөлшер ретімен атомдардың жылы тербелулерінің жиіліктеріне талапқа сай болатындықтан қатты денелерде ғана болады. k аз мағыналары жанында немесе, не ана, толқындардың ұзындық жанында, бауда атомдар аралық маңызды үлкен ара қашықтықтардың, ω ұзындығына k тәуелді болады, қалай және толассыз серпінді ішек оқиғасына арналған ұзындықтың тығыздығымен /a:

Сайып келгенде, айырмашылық толассыз ішектің дискреттік бауына тербеліс аралық пропорционалдық жоқ болуында болады және к толқынды санымен де. Мына толқындардың дисперсиясына байлаулы. Қысқа толқындар. Кішкентай бөлшектердің тербелулердің биік жиілігі көбірек талапқа сай болады, баяу кішкентай бөлшектердің көпшіліктердің қостығы сол себепті таралады, не ұзын толқынмен. Қысық толқындардың дисперсия барысы ауада көрсетіледі ω=ω(k) ұзындық тәуелділіктен (см сурет 5.5.), әділді серпіндінің бірдей атомдардан бауы өзін - өзі ұстайтын серпінді ішек сияқты тек қана тек толқындардың ұзындықтары жанында λ>>2а ал акустикалық толқын тарату жылдамдығы толқын таратуы жылдамдығының айырмашылыққа дискреттік бауын бойлай серпінді ішекті бойлай (см. Формуланы толқын ұзындығынан (5.6) тәуелді болады:

(5.6)

Құрылыммен сондай тәуелділік дискреттікпен ортада серпінді толқындардың таратуы үшін мінездемелі. Шешім жылдамдықпен

Қайда Т – кинетикалық энергия; U0 – тепе – теңдік күй жағдайында потенциалды энерия мағынасы; U – потенциалды энергия.

Қалай және барлықтардың мақсаттарда, байлаулылардың үндескен қозғалыспен, біздің тәжірибемізде дыбыстау кавантық механиканы талдап қорыту жеңіл. Бір өлшемді үндескен осцилляторға арналған классикалық механикте Гамильтон функция түрінде болады

Кішкентай бөлшек рх – күші осында; М – оның көпшілігі; х – тепе – теңдік жайының ауы; ω_к – осциллятор айналма, өзіне меншікті жиілігі. Кванттық механикте бір өлшемді осциллятор астында Гамильтон операторымен жүйені, суреттеп түсіндіреді, ал бірдеймен толық ұқсастықта.

Қайда - күш операторы; х – координата операторы.

Гамильтонға сәйкесті (5.42) теңдеу дәл осылай осциллятор стационарлық күй жағдайларына арналған Шредингерді жазылады:

(5.43)

Осында ħ – Тұрақты жұқа тақтайша; Ψ – толқынды функция; Ек – осциллятордың толық энергиясы.

Мүмкін шешіммен Шредингер теңдеулері (5.43) келеді (өзіне меншіктілер) энергия мағыналары

n = 0,1,2,3,.... (5.44)

Қайда n – негізгі кванттық сан. Формула (5.44) көрсетеді, не осциллятор энергиясы бола алады тек дискреттік мағынада.

Талдап қорыту есебімен алынған бауда атомдардың тербелулерінің толық энергиясын жазып қоямыз.

(5.45)

Мүше ½ жақшаларда ұсынады «нольді» энергияны, барлық оның жағдаймен, не тіпті 0, т.с.с ең аласа энергия күй жағдайында, атомдар тепе – теңдік өз жағдайларында дәл жайларында дәл орнында бола алмайды (олар тербелмелі қозғалыстарды іске асырады). Сондай жағдай байлаулы анамен, не тепе – теңдік олардың жайларында атомдардың дәл жайылтпаушылығы, олардың жылдамдықтарында анықтықсыздардың ара қатынасына байланысты.

Сонымен бауда атомдардың тербелулердің толық жылы энергиясы нормалы тербелулердің энергияларынан салынады, тербелісі өзіне меншіктісімен ұқсас ұзындық үндескен осцилляторларға өзінен бастаушылардың ωk².

Нәтижеге белгілеп қоямыз, егер еске алынуға қысқа қимылдау қозғалыс теңдеулері шығару жанында болса, ал алыстан әсер етуші күшті жақындаса, анау ақырғы нәтиже, жалпы алғанда, өзгертулерсіз қалады. Мыналар жанында, бірақ тәуелділік ω=ω(k) болу күрделі түрі көбірек, бірақ үлгі нормалы тербелулерінің саны (5.21), бұрынғыша қалады. N т.с.с. к толқынды сандардыларының мүмкін мағыналарыныңсанына (5.34). k аздарда тәуелділік ω=ω(k) ұзындық қалады, ал к жанында k=±π/а ал топталған жылдамдық бұрылады (5.30) ноль және мына оқиғада шешім үлгі түрегеп тұрған толқындармен сонымен қатар 5.4. тербелу бір өлшемді шарбақтың негізбен.

Алдындағы бөлімде Бравэ шарбақ бір өлшемді моно атомдық нормалы тербелулердің сәндері айқын боатын, негізбен бір өлшемді шарбақ атомдарының бойлай тербелулері қазір қарап шығамыз, қашан Бравэ ұзындық элементарлық ұйымына параметрмен 2 ал екі атом келеді. Болжаймыз, не бойлай түзу ұйымдардың сызықтары. Бостандық дәрежелерімен 2N сондай жүйе ие болады.Әрбір мақсат шешімі жанында мынадай атомдардың тербелулері туралы жүйеге бау екі үлгі, қолдануды мүмкін қайсылардың, ақырғы жиыныда, ертіп әкеледі біреумен ғанамен және анамен ғой нәтижелерге. Бірінші үлгі – атомдардың бірдейлікпен қос атомды ұзындық бау, серіппелермен байлаулылардың алмасушымен қаттылықпен. Екінші үлгі – қос атомды ұзындық бау, бойлай қайсының М көпшілігімен әртүрлімен атомдарды алма – кезек орналасады ма? Және М?, ал бірдей көршілес атомдарының екеу аралық күштің (атомдар байлаулы аралық серіппелермен өзімен қаттылық бірдей). Серіппе өзіне тарту күш барысын үлгі жасайды, қашан ол созылған, және итеру күштері, қашан ол қысылған. БІз екінші үлгіні пайдаланып

Атомдардың бірдейінен қос атомды ұзындық бау. Атомдар қаттылығымен алмасушымен серіппелермен байлаулы және бөлінген

Бравэ элементарлық ұйымдары параметрмен 2 ал кружленымен пунктирлер – атомдар

Тепе – теңдік жайларында

Параметр элементарлық ұйымына 2а ал М1 көпшілік екі атомы болады және М2 Серіппе қаттылығымен С 2nа М1 көпшілігімен атомдардың тепе – теңдік жұп жайлары 2 nа белгілейміз. Жұпсыздар атмодарға арналған М2 көпшілігімен (n – бүтін сан). Мейлі және u2 n көпшілігімен атом қызметтен алулары бар М1 бойлай t уақыттарының қайсыбір кезеңіне х бағыттары салыстырмалы оның тепе – теңдік жайлары, ал және u2 n +1 – атом қызметтен алуы М2 көпшілігімен тепе – теңдік оның жайынан.

Қайтадан есептейміз, не қызметтен алулар атомаралық ара қашықтықпен салыстырумен аз а, ал атомдар аралық әрекеттестік күштері – квазишыдамдылар. Тепе – теңдіктің бойлай тербелулері бейнелеп түсіндіреді.

Атомдардың қозғалыс теңдеуін табамыз. Әрекеттестік еске алына тек жақын арадағылардың (көршілестердің) атомдардың, нәтижелі күштің, жұмыс істейтіндер таңдалғандарды бізбен атомдар, түрінде жазып қоямыз.

Қайда β – күш беретін тұрақты, байлаулы серпінді тұрақтымен (қаттылықпен) арақатынаспен С=βа. Болжаймыз, не күш беретін тұрақтылар барлықтарға арналған атомдардың буы сәйкес келеді (суретке қара 5.8.)

Пайдаланып қалумен Ньютон екінші заңдарына, қозғалыс теңдеулерін жазып қоямыз:

(5.46)

Есепке ала ананың не әр түрлі көпшіліктердің атомдардың тербелулері u әртүрлі амплитудаларымен бола алады u1 және u2 шешім бұларды үлгі толқындарының юнгущихі түрінде теңдеулерді іздейміз.

Қоя тұра бұлар теңдеуге шешімнің (5.46) және ехр көбейткіш жалпыға қысқарта ехр [і (2nka-ωt)] әрбірде теңдеулерден, теңдеулердің системасына қараймыз да u салыстырмалы u1 және u2:

(5.48)

Мынау жүйе теңестірілген біркелкілердің шешім, егер ноль детерминантқа бұрылса:

(5.49)

Теңдеуден аламыз осы арадан, жиілік байланыстырғыш ω және k толқынды саны:

(5.50)

Түбірлер теңдеу мына биквадратногосы

Сызықтармен дисперсиялықтар қос атомды ұзындық баулардың артынан:

а – келтірілген, б – Бриллюэна үлкейтілген аймағы

Сонымен мақсат шешімі тәуелділіктің қисық бауда екі сорт атомдарының тербелулері туралы екіге ертіп әкеледі ме? К, дисперсия заң екі бұтақ атын алды. Бұтақтың Бриллюэна келтірілген аймағына бейнеленген. оқиғасына арналған М1›М2. Мынада ғой суретте Бриллюэна үлкейтілген аймағы келтірілген, үшін қайсының иолқынды сандардылардың өзгертулердің аралығы сондай ғой, қалай бірдей атомдардан ұзындық баулардың артынан және қалай біз көреміз онан арғымен, электрондық күй жағдайлардың суреттеуіне арналған. Тәуелділік ұсынуы ω үлкейтілген аймаққа k эквиваленттік оның келтірілген аймаққа ұсынуға, сондықтан, қалай біз жоғарырақ сөйлегенбіз, аралықтан k толқынды санына қосу (5.53) мөлшер 2π/(2а) шешім түрінің өзгертпейді.

Төменгі қисықты акустикалық бұтақпен атайды, жоғарыны – оптикалықтың. Көріп қалу, не бәріне к толқынды сандардыларының өзгертулерінің аралығында оптикалық тербелулердің жиілігі көбірек жиілік окустикалық к аз мағыналары жанында айқындауға арналған бұтақтардың ат тегілері тербелулердің жиілік мінез – құлығын қарап шығамыз және к жанында k=±π/(2а) ка мен аздарда ka<<1 айтылуда sin (5.50) жайып қоямыз sin²ka Маклорена қатарына және органикалық ыдырау бірінші мүшелеріне. Пайдаланып қалулардың түбірлердің қасиеттерімен х квадрат теңдеулері сонымен қатар анамен, не (5.50): к жақын маңда теңдеу түбірлері =0, табамыз оптикалық бұтақ тербелулерінің жиілігі әлсіз өзгереді:

(оптикалық тармақ),

к (акустикалық тармақ)

(5.55) айтылу салыстыра нәтиже істеуге (5.25), болады, не тәуелділік ω=ω(k) акустикамен бойлай тербелулердің тармағы осында бейнелеп түсіндіреді, қалай және оқиғада бау моноатомдық, k пропоционалды нольге жақындайды ұзын толқындардың оқиғасында мына тармаққа арналған дыбыс жылдамдық мағынасы айтылумен беріледі.

(5.56)

к аздарда фазалық және топталған жылдамдықтар сәйкес келеді: υ_ф=υ_гр=υ_зв егер М1=М2, анау айтылу дыбыс жылдамдығына арналған айтылуға (5.56 кешіп өтеді υ ав=а бау моноатомдық ұзындықпен тығыздықпен p=M/a

Жанында , т.е. Бриллюэна аймақ шекарасында, жиілік мағыналар жетеді. М1, бұрылады әдемі жайпақ және топталған жылдамдық тұрады ноль, т.е. бір атомды баулардың артынан ұқсас қисық төменгі тармақ атты алды. k=0 жанында екінші тармақ басталады жиілік барынша көп мағыналары

, қайсы төмен к өсу шегімен түседі,k=±π жанында жете ал мағынаның

Оптикалық мына тармақ атайды, дәл осылай ұзын толқындық оптикалық сәндер сияқты иондықтарды кристалдарда электр – магниттік сәулеленумен бірлесіп әрекет қыла алады. k→0 фазаның жанында оптикалық тербелулердің жылдамдығы υ_ф=ω1/k→∞, ал топталған υ_гр=dω1/dk=0

Қандай көрініп тұр сурет 5.9. Екі тармақ жиіліктерді болмайтын жолақпен бөлінген (суретте ол штрихталған), т.с. облыста теңдеу қозғалыстың (5.46 шешімдерді болмайды. Бірақ егер бауға ауыстыру, мысалы, бір немесе бірнеше атомдардың көпшіліктер М2 атомдар көпшіліктер М1, т.с енгізу құрылымды ақаулар, анау тиым салынған облыстар жиіліктердің көрінеді шешімдер, атайды жергіліктілермен сәндермен. Егер М1=М2=М теңдеуде (5.50) қою, анау шешім түрді қабылайды

немесе

Шешім синуспен бау моноатомдық арналған шешіммен сәйкес келеді, ал шешіммен косинуспен, қалай жеңіл көру (тағы да сөйтсе де, себебі толқынды санға қосуды к мөлшер π/a ал ештеңе өзгертпейді), елемеуге болады, дәл осылай әрбірге сияқты ω1 болу талапқа сай болу сән, жіңішке алынған үшін ω2 және ең жолақ тиым салынған жанында М₁=М₂ бұлар нольге тең болып келеді. Сайып келгенде, жолақ жиіліктердің тиым салынған жоғалады.

Бауда атомдардың тербелулерінің акустикалық және оптикалық сәндері аралық ерекшелік физикалық мәнін анықтаймыз. Үшін мынаны салыстырмалы аралық өзімен көңіл болу амплитудалардың тербелулердің және u1/u2 фазалар –

Акустикалық сәнге тербелулердің сән киесі жанында;

Олай болса қозғалыстары K=0 мов М көпшілігімен 1 және М2 жылжытылған ал – көлденең, б – бойлай тербелудің фазаға 180?

Ал – көлденең, б – бойлай тербелудің көршілес атомдардың лебанийі біреудің және басқа тармақтарда. К аз мағыналары жанында (т.е. жанында ка<<1) есепке ала (5.47)

Қатты денелердің аумақтық теориясы.

Кристалдағы электронның толқындық функциясының түрін табатын және электронның мүмкін болатын энергетикалық мәндерін табамыз.

Мұндай өрістегі электрон қозғалысы үшін Шредингер теңдеуін мына түрде жазуға болады.

(5)

Есепті жеңілдету үшін электронның бір өлшемді қозғалысын қарастырамыз. Онда (5) – ші теңдеуі мына түрде бір өлшем үшін жазамыз:

- (5а)

Блох бойынша бұл теңдеуінің шешімі:

(6)

Дата добавления: 2017-02-01