Математическое моделирование объектов и систем управления в программе Matlab

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕКСТИЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. А.Н.КОСЫГИНА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторному практикуму по курсу

«Математическое моделирование объектов и систем управления

в программе Matlab»

Авторы:  Тимохин А.Н.

Румянцев Ю.Д.

Москва 2012 г.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Численное решение нелинейных уравнений

Цель работы: Изучить принципы численного решения нелинейных уравнений построения линейных моделей в программе MATLAB и получения переходных процессов с заданными характеристиками.

Задание:

а). по заданному преподавателем варианту (см. таблицу 1.1) построить график уравнения.

б) найти корни уравнения, пользуясь различными способами программы MATLAB.

в).провести исследование предложенной функции на предмет изменения числа корней при изменении пределов заданного отрезка.

Основные положения

Ниже перечислены встроенные в MATLAB тригонометрические функции и обратные к ним:

 sin, cos, tan, cot —синус, косинус, тангенс и котангенс;

 sec, csc —секанс, косеканс

 asin, acos, atan, acot — арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотан­генс;

 asec, acsc — арксеканс, арккосеканс..

Аргументы тригонометрических функций должны быть выражены в радиа­нах. Обратные тригонометрические функции возвращают результат также в радианах.

В MATLAB встроены следующие гиперболические функции и обратные к ним:

sinh, cosh, tanh, coth — гиперболические синус, косинус, тангенс и ко­тангенс;

sech, csch — гиперболические секанс и косеканс;

asinh, acosh, atanh, acoth  гиперболические арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс;

 asech, acsch — гиперболические арксеканс и арккосеканс.

Экспоненциальная функция, логарифмы, степенные функции

Ниже перечислены названия этих функций в MATLAB:

eхр — экспоненциальная функция;

loq — натуральный логарифм;

log10 — десятичный логарифм;

log2 — логарифм по основанию 2;

pow2 — возведение числа 2 в степень;

sqrt — квадратный корень;

nextpow2 — степень, в которую надо возвести число 2, чтобы получить ближайшее число (большее или равное аргументу), например

» nextpow2(1000)

  ans = 10

Функции для работы с комплексными числами

К ним относятся следующие функции MATLAB:

abs, angle— модуль r и фаза φ (в радианах от -π до π) комплексного числа а + i • b = r • (cos φ + i • sin φ );

  complex — конструирует комплексное число по его действительной и мнимой части:

» complex (2.3, 5.8)

ans =

   2.3000 + 5.8000i

conj — возвращает комплексно-сопряженное число;

    imag, real — мнимая и действительная часть комплексного числа.

Округление и остаток от деления

Ниже приведены примеры использования этих функций в MATLAB:

 fix — округление до ближайшего целого по направлению к нулю:

» fix(1.8)                                                » fix{-1.9)

ans =                                                     ans -

     1                                                     -1

floor, ceil — округление до ближайшего целого по направлению к ми­нус бесконечности или плюс бесконечности:

» floor(3.2)                                              » ceil(3.2)

ans =                                                        ans =

      3                                                                4

 round —округление до ближайшего целого:

» round(4.1)                                             » round{4.5)

ans =                                                        ans =

      4                                                            5

mod—остаток от целочисленного деления (со знаком второго аргумен­та):

» mod(5,2)                                               » mod(5,-2)

ans =                                                        ans -

      1                                                             -1

 rem — остаток от целочисленного деления (со знаком первого аргумента):

» rem(5,2)                                               » rem(5,-2)

ans =•                                                      ans =

1                                                                    1
sign — знак числа.

 Численное решение нелинейных уравнений

Задача нахождения корней нелинейных уравнений встречается в различ-ных областях научно-технических исследований. Проблема формулируется следующим образом: Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корень уравнения

f(х₀) = 0.

Будем предполагать, что имеется интервал изменения х [а; b], на котором необходимо исследовать функцию f(x) и найти значение x₀, при котором f(x₀) равно или весьма мало отличается от нуля.

Вначале необходимо построить график функции f(x) на заданном интервале и убедиться в существовании корня или нескольких корней. Затем применить программы поиска корней. Если существует один корень и график f(x) пересекает ось ох, то можно применить оператор fzero.

Если f(x) имеет больше одного корня и может касаться и пересекать ось ох, то следует применить более мощную программу fsolve из пакета Optimization Toolbox, которая решает задачу методом наименьших квадратов. Программа fzero использует известные численные методы: деление отрезка пополам, секущей и обратной квадратичной интерполяции.

Корни многочленов определяются оператором roots. Один из способов применения этого оператора показан на примере 1.

Имеется функция y=-2x⁵-4x³+4x²+5x+1 на отрезке ( -1, 1.5).

Определим эту функцию в MATLAB:

>> x=-1:.1:1.5;

>> y=-2*x.^5-4*x.^3+4*x.^2+5*x+1;

Определим коэффициенты:

>> coef=[-2 0 -4 4 5 1]

coef =

-2 0 -4 4 5 1

Определим корни:

>> roots(coef)

ans =

-0.2397 + 1.7238i

-0.2397 - 1.7238i

1.2348         

-0.4727         

-0.2828       

Построим график: 

>> plot(x,y,'k'),grid on

>>

График функции показан на рисунке 1.1.

Рис. 1.1

   

Пример 2. Найти корень нелинейного уравнения (sin(x)-cos(sqrt(x))=0 на ин­тервале [0.0; 6.0].

Протокол программы

» % Строим график заданной функции

»  x = 0.0 : 0.1: 6.0; у = (sin(x)-cos(sqrt(x));

» plot (x, у); grid on

Рис. 1.2

Появляется окно с графиком функции (sin(x)-cos(sqrt(x)) , (Рис. 1.2) из ко­торого следует, что корни функции на заданном интервале существует. Для точного определения корня применяем fzero и fsolve.

» X1 =fzero (' ((sin(x)-cos(sqrt(x)) ', [0.0 6.0])

Результат решения

X1 =

            5.5072

      Как видим, найден только один последний корень. Применим более мощную программу fsolve.

» Х2 = fsolve (' ((sin(x)-cos(sqrt(x))', 0.0 : 6.0)

Результат решения

    X2=

               0.7214 0.7214 3.4202 3.4202 3.4202 5.5072 5.5072

    В этом случае найдены все три корня уравнения.

Порядок выполнения работы

1. По заданному варианту уравнений из таблиц 1.1 и 1.2 построить графики на предложенных интервалах.

2. Найти имеющиеся корни уравнений,  применяя операторы  roots,  fzero и fsolve.

3. Исследовать предложенные  уравнения на наличие корней, увеличивая заданный интервал слева и справа.

4. Скопировать результаты работы в файл формата *.doc для предъявления отчета и защиты работы.

Варианты заданий.

Таблица1.1

№ п/п	Функция	Границы отрезка
	y=-2x^5-4x^3+4x^2+5x+1	[-1; 2]
	y=x^5-4x^3+4x^2+5x+1	[-2; 2]
	y=x ^6-x^5-4x^3+4x^2+5x+1	[-2; 1.5]
	y=x ^6-x^5-4x^3+2x^2+5x+5	[-2; 2]
	y=x ^6-x^5-4x^3+4x^2+5x+3	[-1; 1.3]
	y=-x ^6-x^5-4x^3+3x^2+5x+4	[-1; 2.5]
	y=-x ^6-4x^5-4x^3+4x^2+5x+2	[-1; 1.5]
	y=x ^6-3x^5-x^3+3x^2+5x+6	[-1.5; 2.5]
	y=x ^6-x^5-3x^3+2x^2+5x+4	[-1.2; 1.6]
	y=-x ^6-x^5-4x^3+4x^2+5x+7	[-1.3; 1.7]
	y=-x ^6-x^5-2x^3+3x^2+5x+3	[-1.2; 2.5]
	y=x ^6-x^5-3x^3+2x+4	[-1.3; 2.5]
	y=x ^6-x^5-4x^3+4x^2+5x+8	[-1.2; 1.5]
	y=x ^6-4x^3+2x^2+3x+2	[-1.4; 1.6]
	y=x ^6-x^5-4x^3+4x^2+5x+4	[-1; 2.5]
	y=-x ^6-3x^5-4x^3+4x^2+5x+3	[-1.3; 1.6]
	y=2x ^6-4x^3+4x^2+5x+5	[-1.2; 1.7]
	y=x ^6–x^5-4x^3+4x^2+5x+7	[-1.1; 1.5]
	y=x ^6-2x^5-5x^3+4x^2+5x+5	[-1.5; 1.5]
	y=x ^6-4x^5-3x^3+4x^2+5x+4	[-1.2; 2.5]
	y=x ^6-5x^5-4x^3+4x^2+5x+6	[-1.3; 1.5]
	y=-x ^6-x^5-4x^3+4x^2+5x+2	[-1.5; 1.7]
	y=-5x ^6-x^5-4x^3+4x^2+5x+4	[-1.7; 2.5]
	y=-3x ^6-x^5-4x^3+4x^2+5x+2	[-1.2; 1.5]
	y=-2x ^6-x^5-4x^3+4x^2+5x+3	[-1.5; 2.5]
	y=-4x ^6-x^5-4x^3+4x^2+5x+7	[-1; 1.5]

Таблица1.2

		[0.0; 1.0]
	е^х-ln х-20 = 0	[3.0; 3.21
		[0.0; 1.0]
		[0.0; 0.2]
	x^4+2x^3–x -1=0	[0.8; 1.0]
	x^3–e^4x-5.5=0	[2.6; 3.0]
	x^6-3x^2+x-1 = 0	[1.0; 1.5]
		[1.0; 2.0]
	x^2–ln x = 0	[0.0; 1.0]
	x^2–cos x = 0	[0.0; 1.0]
	ln x – arctg x = 0	[3.0; 4.01
	x^2arctg x -1 = 0	[1.0; 1.2]
	x^2+ln x – 4 = 0	[1.0; 2.01
	x – arctg x = 0	[0.0; 1.0]
	x^2– e^x– 2 = 0	[-0.2; -0.11]
	x^2– ln(x+1) = 0	[0.1; 0.9]
	x^5– x -2 =0	[1.0; 1.4]
		[3.0; 4.0]
	x - tg x =0	[0.0; 1.51
	x + ln x – 0.5 = 0	[0.0; 1.0]
		[0.1; 1.0]
	arctg(x)-1 = 0	[0.4; 0.6]
		[3.0; 4.0]
	х^3-9х^2+5х-6 = 0	[4.0; 5.0]
	arcos 2x – x^2-0.35 =0	[2.0; 3.0]
	x^2–ln(1+x^2) -9.7 = 0	[0.0; 0.48]

Содержание отчета:

1.  График функции с четкой оцифровкой осей координат.

2. Значения найденных корней на интервале варианта.

3.  График функции с изменённым интервалом.

  4. Значения найденных корней на изменённом интервале.

Дата добавления: 2023-10-06