Решение дифференциальных уравнений в программе MATLAB

Лабораторная работа №2.

Цель работы: Изучить принципы численного решения нелинейных уравнений построения линейных моделей в программе MATLAB и получения переходных процессов с заданными характеристиками.

Задание:

а). по заданному преподавателем варианту (см. таблицу 1.1) построить график уравнения.

б) найти корни уравнения, пользуясь различными способами программы MATLAB.

в).провести исследование предложенной функции на предмет изменения числа корней при изменении пределов заданного отрезка.

Основные положения

Для решения обычных дифференциальных уравнений можно применить функцию dsolve. Это символьное решение уравнений.

По умолчанию независимая переменная - 't'. Символ 'D' обозначает дифференцирование относительно независимой переменной.

Символ 'D' сопровождается цифрой.

Первая производная d/dt обозначается "D".

Вторая производная d^2/dt^2 обозначается"D2" и т.д.

Например, D3y обозначает третью производную от y (t). Заметим, что имена символьных переменных не должны содержать 'D'.

Решим следующее уравнение:

Выделим старшую производную:

Применим функцию dsolve в командной строке Matlab, написав полученное уравнение в одинарных кавычках, а через запятую в кавычках укажем начальное значение переменной и имя аргумента. Для уравнения второго порядка нужно указать через запятую начальные значения переменной и её производной. Для уравнения третьего порядка указываются три начальных условия и т.д.

>> dsolve('Dy=-1/5*y+1/5','y(0)=0','t')

 ans =

 1-exp(-1/5*t)

 >>

Полученную формулу можно использовать для построения графика функции.

Программа

clear

y(1)=0;

t=2:20;

y(t)=1-exp(-1/5*t);

plot (y),grid on

Поскольку в вышеприведенной программе индекс переменной (t) и аргумент функции совпадают, то шаг вычисления равен индексу, а это только целое число. График функции в большинстве случаев получается с изломами.

Чтобы уменьшить шаг вычисления, изменять его удобнее в цикле.

Обозначим индекс t1, а аргумент вычисления t.

Аргумент изменяется с шагом 0.1.

clear

y(1)=0;

t=0;

for t1=2:200;

y(t1)=1-exp(-1/5*t);

t=t+.1;

end

plot (y), grid on

После выполнения программы тот же график получается более гладким.

Шаг вычисления в этом случае можно изменять внутри цикла в зависимости от вида функции.

Таблица 2.1

№ вар.	Уравнение	Начальные условия [ Ý(0) ; Y(0) ]
		[ 1 ; 0 ]
		[ 1 ; 1 ]
		[ 0 ; 1 ]
		[ 0.2 ; 0.5 ]
		[ 0.4 ; 0.8 ]
		[ 0.5 ; 0 ]
		[ 0 ; 0.5 ]
		[ 0.2 ; 0.5 ]
		[ 0 ; 1 ]
		[ 0.2 ; 0 ]
		[ 0 ; 2 ]
		[ 0.25 ; 1 ]
		[ 0.5 ; 0.5 ]

		[ 0 ; 1 ]
		[ 0.2 ; 0.5 ]
		[ 0.3 ; 0 ]
		[ 0 ; 0.5 ]
		[  0.24 ; 1 ]
		[ 0.2 ; 0 ]
		[ 0.1 ; 0.25 ]
		[ 0.3 ; 2 ]
		[ 0 ; 0.25 ]
		[ 0.2 ; 0.3 ]
		[ 0 ; 0.5 ]
		[ 0.2 ; 0.3 ]

Порядок выполнения работы

1. По заданному варианту уравнений из таблицы 2.1 построить график с предложенными начальными условиями.

2. Выбрать шаг вычисления функции с цель получения гладкой кривой графика функции.

3. Выбрать необходимое количество точек вычисления для получения установившегося значения.

4. Установить нулевые начальные условия и получить график этой же функции.

5. Скопировать результаты работы в файл формата *.doc для предъявления отчета и защиты работы.

Содержание отчета:

1. Уравнение варианта.

2. Решение уравнения.

3. Программа построения графика.

4. График функции с четкой оцифровкой осей координат.

5. График функции с изменёнными начальными условиями.

Дата добавления: 2023-10-06