Поняття про ступені вільності. Аналіз дисперсій

Тотожність, яка пов’язує загальну суму квадратів із сумою квадратів залишків та сумою квадратів, що пояснює регресію:

.                        (2.3.1)

Кожна сума квадратів пов’язана з числом, яке називають її “ступенем вільності”. Це число показує, скільки незалежних елементів інформації, що утворилися з елементів , потрібно для розрахунку даної суми квадратів.

У статистиці кількістю ступенів вільності певної величини часто називають різницю між кількістю різних дослідів і кількістю констант, установлених в результаті цих дослідів незалежно один від одного.

Суми квадратів пов’язані з певним джерелом варіації, а також із ступенями вільності і середніми квадратами. Зведемо їх у таблиці, яка називається базовою таблицею дисперсійного аналізу (ANOVA— таблиця). [5]

ANOVA-таблиця

Джерело варіації	Кількість ступенів вільності	Сума квадратів	Середні квадрати
Зумовлене регресією (модель)
Непояснюване за допомогою регресії (помилка)
Загальне			Не розраховується

Приклад 3. За даними та результатами прикладу 1 побудувати ANOVA-таблицю дисперсійного аналізу.

Рішення: Попередні розрахунки представимо в таблиці.

i
			x	x	x

Побудуємо ANOVA-таблицю для прикладу про залежність між обсягами реалізації продукції та витратами на рекламу.

Джерело варіації	Кількість ступенів вільності	Сума квадратів	Середні квадрати
Модель
Помилка	n-2=5-2=3
Загальне	n-1=5-1=4		Не розраховується

2.4. Перевірка простої регресійної моделі на адекватність. Поняття F-критерію Фішера

Критерій, що однозначно відповідає на питання про адекватність побудованої регресійної моделі — F-критерій Фішера:

,                         (2.4.1)

де чисельник — середній квадрат, який можна пояснити з регресійної моделі;

знаменник — середній квадрат помилок;

1, (n-2) — ступені вільності.

Перевірка моделі на адекватність за F-критерієм Фішера передбачає здійснення певних етапів:

1. На першому етапі розраховуємо величину F-критерію Фішера за формулою (2.4.1).

2. На другому етапі задаємо рівень значимості   або . Наприклад, якщо ми вважаємо, що можлива помилка для нас становить 0,05 (або 5%), це означає, що ми можемо помилитися не більше, ніж у 5% випадків, а в 95% випадків  наші висновки будуть правильними.

3. На третьому етапі за статистичними таблицями F-розподілу Фішера з (1, n-2) — ступенями вільності і рівнем довіри  обчислимо критичне значення (F_кр.).

4. Якщо розраховане нами значення F>F_кр. , то з ризиком помилитися не більше, ніж у 5% випадків, ми можемо вважати, що побудована регресійна модель адекватна реальній дійсності [5].

Приклад 4. Перевірити на адекватність лінійну регресійну модель, побудовану в прикладі 1, за критерієм Фішера.

Рішення: Використовуючи ANOVA-таблицю дисперсійного аналізу, побудовану в прикладі 3, розрахуємо F-критерій Фішера за формулою (2.4.1):

За таблицею F-розподілу Фішера знаходимо критичне значення (F_кр) з 1 та 3 ступенями вільності, задавши попередньо рівень довіри 95% або рівень значимості (помилки) 5%. Це буде точка:

F_(1;3;0,95)=10,13.

Отже, F>F_кр., тобто, , що дозволяє зробити висновок про адекватність побудованої моделі реальній дійсності.

Завдання 12. За даними завдання 4 побудувати ANOVA-таблицю дисперсійного аналізу та перевірити на адекватність лінійну регресійну модель, одержану при виконанні завдання 4, за допомогою F-критерія Фішера.

Завдання 13. За даними завдання 8 побудувати ANOVA-таблицю дисперсійного аналізу та перевірити на адекватність лінійну регресійну модель, одержану при виконанні завдання 8, за допомогою F-критерія Фішера.

Завдання 14. За даними завдання 10 побудувати ANOVA-таблицю дисперсійного аналізу та перевірити на адекватність лінійну регресійну модель, одержану при виконанні завдання 10, за допомогою F-критерія Фішера.

Завдання 15. За даними завдання 11 побудувати ANOVA-таблицю дисперсійного аналізу та перевірити на адекватність лінійну регресійну модель, одержану при виконанні завдання 11, за допомогою F-критерія Фішера.

Завдання 16. Припустимо, що в регресії та . Використайте F-критерій Фішера для перевірки значимості регресії (n=30). Використовуйте 5%-ий

                                 рівень значимості.

Дата добавления: 2023-10-13