Застосування регресійного аналізу: проблема прогнозування

Побудоване на основі вибіркових даних рівняння регресії можна застосовувати для прогнозування, або передбачення, майбутніх значень Y, відповідних деякому заданому Х. Найбільш грубою оцінкою прогнозу буде визначення однієї точки  для заданого значення  – так званий точковий прогноз. Оскільки значення  є оцінкою, то, напевно, його числове значення відрізняється від істинного. Тому для розрахунку точних прогнозів визначають не одну точку, а прогнозний інтервал. Можливі такі два види прогнозу:

1) середній – прогноз умовної середньої величини Y, відповідний
вибраному Х₀;

2) індивідуальний –  прогноз індивідуальної величини Y, відповідної Х₀.

Прогнозування середнього значення залежної змінної

Довірчий інтервал для теоретичної функції регресії знаходять за формулою

       ,

де  визначають відповідно до таблиці розподілу Стьюдента за заданою надійністю g = 1-a і кількістю степенів вільності , а  обчислюють згідно з формулою

                           .

Прогнозування індивідуального значення залежної змінної

Довірчий інтервал для прогнозованого індивідуального значення  із заданою надійністю g становить

         ,

де ,  визначають так, як описано вище.

Зауваження.

 1. Ширина довірчого інтервалу прогнозу залежить від значення : за  вона мінімальна, а в міру віддалення від середнього значення  ширина довірчого інтервалу збільшується (рис. 4).

Рис.4. Довірча область

для умовних середніх залежної змінної

2. Для індивідуальних значень змінної Y довірчий інтервал за того ж рівня довіри ширший, ніж для умовного середнього , і включає довірчий інтервал для умовного середнього значення.

Коефіцієнт еластичності

Для характеристики впливу регресора Х на залежну змінну Y в моделі використовують коефіцієнт еластичності K_E. Припустимо, що величина y залежить від х і ця залежність описана функцією . Приріст незалежної змінної  визначає відповідну зміну залежної змінної – _. З погляду економічних досліджень важливим є питання, як вимірювати вплив зміни одного фактора на інший. Як відомо, одним із показників реагування y на зміну x служить похідна

                                       ,

яка характеризує швидкість зміни функції зі зміною аргументу. Однак в економіці цей показник незручний у використанні, оскільки він залежить від вибору одиниць виміру. Наприклад, якщо розглядати функцію попиту S на певний продукт від його ціни Р, вимірюваної в гривнях, то можна побачити, що значення похідної

                                      

за кожної ціни залежить від того, в яких одиницях вимірюють попит на цей продукт: у кілограмах, центнерах, тоннах тощо. Відповідно значення похідної будуть вимірюватися в кілограмах на гривню, центнерах на гривню або тоннах на гривню, отже, за одного й того ж значення ціни похідні будуть різними. Тому в загальному випадку для виміру чутливості зміни функції до зміни аргументу в економіці вивчають зв’язок не абсолютних змін х та y ( ), а їх відносних чи процентних змін.

Визначення. Коефіцієнт еластичності – межа відношення зміни однієї ознаки в процентах до зміни іншої на 1%:

                                   .                                                

Коефіцієнт еластичності характеризує відносну зміну залежної змінної за зміни пояснювальної змінної на 1%. У загальному випадку  буде неперервною функцією від . Наприклад, якщо залежність попиту y від доходу x визначена функцією , то  можна визначити таким чином:

.

Таким чином, коефіцієнт еластичності в цьому випадку є сталою величиною.

Якщо залежність y від x визначена лінійною функцією , матимемо

.

Тобто в цьому випадку  є функцією від х.

Приклад виконання розрахунків

Потрібно дослідити залежність обсягів реалізації продукції Y підприємства від його кредиторської заборгованості X протягом року на основі даних його фінансової звітності (табл. 5).

Таблиця 5

Обсяг реалізації продукції Y, млн грн	Кредиторська заборгованість X, млн грн
0,54	0,42
0,47	0,37
0,65	0,66
0,83	0,71
0,76	0,83
0,50	0,57
0,72	0,69
0,84	0,75
0,93	0,88
1,11	0,99
0,94	1,01
1,14	1,17

У ході роботи необхідно:

1)  визначити вид зв’язку між заданими показниками;

2)  розрахувати оцінки параметрів за допомогою МНК;

3)  виконати аналіз якості побудованої моделі та оцінок її параметрів;

4)  розрахувати прогнозне значення залежної змінної та довірчі інтервали прогнозу;

5)  визначити коефіцієнт еластичності.

Розв’язування

1. Специфікація моделі

У цьому прикладі слід розглянути зв’язок між двома показниками – обсягом реалізації продукції та кредиторською заборгованістю підприємства, отже, маємо парну регресію. Позначимо залежну величину – обсяг реалізації продукції – буквою y, а незалежну величину– кредиторську заборгованість –
через х. Залежність між наведеними показниками зобразимо графічно у вигляді точкового графіку (рис. 5). Очевидно, що в цьому випадку зв’язок між розглядуваними показниками близький до лінійного. Емпіричне рівняння матиме вигляд

                               .

Рис. 5. Точковий графік залежності між змінними

2. Визначення параметрів вибраного рівняння

Розрахуємо значення коефіцієнтів за формулами

, .

Для виконання потрібних обчислень слід поетапно розрахувати величини , ,  для кожного спостереження а також .

Обчислимо                                   

=0,7542,

= 0,7858.

Розрахунки значень інших величин подано в табл. 6. На основі встановлених значень одержимо

, .

Отже, емпіричне лінійне рівняння парної регресії (економетрична модель залежності між обсягом реалізації продукції та кредиторською заборгованістю) за визначеними  має вигляд                         .

Таблиця 6

Номер спосте-реження
	0,42	0,54	-0,33	-0,25	0,11	0,08	0,18
	0,37	0,47	-0,38	-0,32	0,15	0,12	0,14
	0,66	0,65	-0,09	-0,14	0,01	0,01	0,44
	0,71	0,83	-0,04	0,04	0,00	0,00	0,50
	0,83	0,76	0,08	-0,03	0,01	0,00	0,69
	0,57	0,5	-0,18	-0,29	0,03	0,05	0,32
	0,69	0,72	-0,06	-0,07	0,00	0,00	0,48
	0,75	0,84	0,00	0,05	0,00	0,00	0,56
	0,88	0,93	0,13	0,14	0,02	0,02	0,77
	0,99	1,11	0,24	0,32	0,06	0,08	0,98
	1,01	0,94	0,26	0,15	0,07	0,04	1,02
	1,17	1,14	0,42	0,35	0,17	0,15	1,37
	9,05	9,43	0,00	0,00	0,62	0,55	7,45

3. Аналіз якості моделі

3.1. Перевірка загальної якості рівняння регресії

Загальну якість рівняння регресії оцінюють, визначаючи коефіцієнт детермінації за формулою

               або .

Обчислимо значення  , відповідні значення  (розрахуємо їх як ),  суми , , . Усі результати занесемо в табл. 7. На основі цих даних матимемо:

   

Відомо, що  дозволяє визначити, наскільки добре емпіричне рівняння регресії узгоджується зі статистичними даними, тобто наскільки реальні значення відхиляються від побудованої лінії регресії. Для розглядуваного прикладу з рис. 5 можна побачити, що точки, відповідні реальним спостереженням, розташовані дуже близько від лінії регресії, отже, отриманий результат  є цілком закономірний. Зробимо висновок: на 89% зміна обсягів реалізації продукції визначена зміною кредиторської заборгованості підприємства і лише на 11% такі зміни пов’язані з іншими (не врахованими в даній економетричній моделі) факторами.

Таблиця 7

Номер спостереження
	0,4910	-0,2948	0,0869	0,0490	0,0024	-0,2458	0,0604
	0,4469	-0,3390	0,1149	0,0231	0,0005	-0,3158	0,0998
	0,7027	-0,0831	0,0069	-0,0527	0,0028	-0,1358	0,0185
	0,7469	-0,0390	0,0015	0,0831	0,0069	0,0442	0,0020
	0,8527	0,0669	0,0045	-0,0927	0,0086	-0,0258	0,0007
	0,6233	-0,1625	0,0264	-0,1233	0,0152	-0,2858	0,0817
	0,7292	-0,0566	0,0032	-0,0092	0,0001	-0,0658	0,0043
	0,7822	-0,0037	0,0000	0,0578	0,0033	0,0542	0,0029
	0,8969	0,1110	0,0123	0,0331	0,0011	0,1442	0,0208
	0,9939	0,2081	0,0433	0,1161	0,0135	0,3242	0,1051
	1,0116	0,2257	0,0510	-0,0716	0,0051	0,1542	0,0238
	1,1527	0,3669	0,1346	-0,0127	0,0002	0,3542	0,1254
	9,4300	0,0000	0,4856	0,0000	0,0597	0,0000	0,5453

Оскільки , обчислимо значення парного коефіцієнта кореляції  та перевіримо його статистичну значущість. Матимемо . Коефіцієнт кореляції є додатний, оскільки маємо пряму залежність між змінними х та у, що видно з рис.5.

Для перевірки статистичної значущості r виберемо статистичний критерій . Обчислене значення  порівняємо з табличним значенням, вибраним за заданим рівнем значущості a і степенями вільності , на основі чого зробимо висновок стосовно прийняття гіпотези про значущість (незначущість) коефіцієнта кореляції:

.

Якщо a = 0,05, , то табличне значення

= 2,228; .

Оскільки , приймемо гіпотезу про статистичну значущість розрахованого для розглядуваного прикладу коефіцієнта кореляції.

Загалом проведений аналіз якості побудованої лінії регресії дає підстави вважати дану модель якісною, а тому її можна застосовувати для подальших досліджень.

3.2. Перевірка статистичної значущості оцінок параметрів  економетричної моделі

Для перевірки нульової гіпотези  за альтернативної гіпотези  виберемо як статистичний критерій випадкову величину

                                 ( ).

Для розрахунку  та  застосуємо формули

, .

Обчислимо :

0,0773 × 0,99763 0,0771.

Визначимо :

0,0773 × 1,2662 0,09786.

Тепер обчислимо спостережене значення вибраного статистичного критерію для кожного коефіцієнта:

1,56 , 9,016.

Як відомо, розраховані t-статистики мають розподіл Стьюдента (t-розподіл) із  степенями вільності.

За вибраного рівня значущості  та кількості степенів вільності матимемо таке:

= 2,228, .

Нагадаємо, що коли , слід прийняти гіпотезу про те, що , і, навпаки,  ( ), якщо . Тобто область прийняття гіпотези, за якою , визначена інтервалом

            

                          

Отже, матимемо

1,56 .

Таким чином, для оцінки параметра  приймемо гіпотезу .

Статистична незначущість коефіцієнта  вказує на те, що всі інші фактори, не враховані в розглядуваній регресійній моделі, не роблять значного впливу на залежну змінну.

Аналогічно перевіримо статистичну значущість параметра :

9,016 .

Як бачимо, оцінка параметра  є статистично значуща, що свідчить про істотний вплив на залежну змінну вибраної незалежної.

Отже, на цьому етапі аналізу побудованої економетричної моделі (перевірка статистичної значущості оцінок параметрів ) можна визначити модель як якісну, оскільки статистично значуща оцінка параметра  вказує на значний вплив вибраного фактора на залежну змінну, тоді як усі інші невраховані фактори (статистично незначуща оцінка параметра ) не впливають істотно на зміну значень y.

3.3. Визначення довірчих інтервалів для оцінок параметрів  економетричної моделі

Довірчі інтервали обчислимо за такими формулами:

- для :

- для : ,

де  визначимо за допомогою таблиці за заданою надійністю g = 1-a і кількістю степенів вільності .

Виберемо рівень надійності  та, враховуючи, що кількість степенів вільності дорівнює = 12 – 2 = 10, отримаємо = 2,228. Отже, довірчі інтервали для оцінок параметрів визначені такими межами:

                      

          

                               ,

аналогічно для  матимемо

                       ,

        ,

                                  .

4. Прогнозування значень залежної змінної

Здійснимо прогноз обсягів реалізації продукції на наступний період часу залежно від кредиторської заборгованості, яка в січні наступного року запланована на рівні 1,25 млн. грн. Скористаємося визначеною залежністю між зазначеними показниками:

                                .

Найбільш грубою оцінкою такого прогнозу буде визначення однієї точки  для значення  (точковий прогноз):

Зобразимо прогнозовані результати поряд із реальними значеннями спостережень (рис.6).

Рис. 6. Точковий графік залежності і прогнозне значення

Розрахована точка з координатами ( ) знаходиться на побудованій прямій, однак зрозуміло, що реальне значення  для вибраного  може відхилятися від лінії регресії, тому для розрахунку точних прогнозів визначають не одну точку, а прогнозний інтервал.

Розрахуємо інтервали для прогнозу:

– середнього значення залежної змінної;

– індивідуального значення залежної змінної.

4.1. Прогнозування середнього значення залежної змінної

Довірчий інтервал для теоретичної функції регресії знайдемо за формулою

     ,

де  визначимо з допомогою таблиці за заданою надійністю  і кількістю степенів вільності ;  – похибка прогнозу, яку визначимо так:

                         .

Обчислимо похибку прогнозу для середнього значення :

0,0773×0,937193 0,07243.

Значення  розрахуємо, як і в попередніх випадках, для = 0,95 і кількості степенів  вільності  Матимемо = 2,228.   Таким   чином,

.

Тобто середнє значення обсягу реалізації продукції з імовірністю 0,95 буде знаходитися у визначених межах.

4.2. Прогнозування індивідуального значення залежної змінної

Знайдемо довірчий інтервал для прогнозованого індивідуального значення  із заданою надійністю :

        ,

де

.

Розрахуємо  :

1,484 0,1147.

Як і в попередніх випадках, = 2,228 (для = 0,95 і кількості степенів вільності k = 10). Таким чином, межі прогнозного інтервалу складатимуть

.

Тобто значення залежної змінної (обсяг реалізації продукції) з імовірністю 0,95 буде належати визначеному проміжку.

Зауважимо, що прогнозний інтервал для індивідуального значення ширший, ніж для середнього значення змінної.

5. Визначення коефіцієнта еластичності

Для парної лінійної регресії коефіцієнт еластичності визначимо таким чином: .

Використовуючи початкові значення , коефіцієнт еластичності можна зобразити графічно (рис. 7).

Рис.7. Графік еластичності моделі

У розглядуваному випадку , тобто за зміни кредиторської заборгованості на 1% обсяг реалізації продукції змінюється менше ніж на 1%.

Зауваження. Під час виконання розрахунків можна застосувати статистичні й матричні функції електронних таблиць (дод. 2). Для знаходження параметрів моделі й оцінки її якості можна використати засоби пакета аналізу електронних
таблиць (дод. 3).

Завдання для самостійної роботи:

Побудувати дві економетричні моделі, що характеризують:

а) залежність між витратами обігу та обсягом вантажообороту;

б) залежність між витратами обігу та фондомісткістю.

Побудову моделей виконати в такому порядку:

1) визначити вид зв’язку між заданими показниками;

2) розрахувати оцінки параметрів за допомогою МНК для лінійної моделі;

3) виконати аналіз якості побудованої моделі та оцінок її параметрів;

4) розрахувати прогнозне значення залежної змінної;

5)  розрахувати довірчі інтервали прогнозу;

6) визначити коефіцієнт еластичності.

Варіант 1							Варіант 2
№ з/п	Витрати	Вантажо-оборот	Фондо-місткість				№ з/п			Витрати	Вантажо-оборот		Фондо-місткість
	2,72	15,6	106,3							2,58	15,1		120,0
	3,04	13,5	128,5							2,64	16,1		118,4
	2,84	15,3	118,0							2,52	16,7		108,4
	2,89	14,9	121,2							2,75	15,4		110,0
	2,58	15,1	120,0							2,63	17,1		105,9
	2,64	16,1	118,4							2,48	16,8		117,7
	2,52	16,7	108,4							2,62	16,9		97,5
	2,75	15,4	110,0							2,88	16,1		113,7
	2,63	17,1	105,9							2,68	15,0		122,3
Варіант 3								Варіант 4
№ з/п	Витрати	Вантажо-оборот	Фондо­місткість					№ з/п	Витрати			Вантажо-оборот		Фондо­місткість
	2,48	16,8	117,7						2,75			16,8		110,0
	2,62	16,9	97,5						2,63			15,5		105,9
	2,88	16,1	113,7						2,48			17,0		117,7
	2,68	15,0	122,3						2,62			16,8		97,5
	2,52	18,0	102,0						2,88			16,9		113,7
	2,74	17,2	106,7						2,68			16,1		122,3
	2,56	17,1	108,5						2,56			15,0		102,0
	2,68	16,4	114,3						2,74			18,0		106,7
	2,55	16,7	94,3						2,60			17,2		108,5

Варіант 5							Варіант 6
№ з/п	Витрати	Вантажо-оборот	Фондо­місткість				№ з/п		Витрати	Вантажо-оборот	Фондо­місткість
	2,92	14,1	87,8						2,45	17,1	71,3
	2,64	17,2	72,0						2,38	19,5	61,7
	2,79	17,1	72,4						3,04	12,5	96,2
	2,67	17,8	69,5						2,67	16,5	72,9
	2,68	16,2	75,0						2,70	16,0	75,0
	2,85	17,2	70,6						2,65	16,1	74,6
	2,40	16,8	73,4						2,79	16,2	74,1
	2,91	14,8	80,7						2,49	18,0	66,9
	2,29	19,6	62,2						3,27	11,4	98,6
Варіант 7						Варіант 8
№ з/п	Витрати	Вантажо-оборот	Фондо-місткість			№ з/п		Витрати		Вантажо-оборот	Фондо-місткість
	2,85	17,2	70,6					2,93		18,1	71,2
	2,40	16,8	73,4					2,50		17,2	73,4
	2,91	14,8	80,7					2,95		14,9	81,2
	2,29	19,6	62,2					2,39		20,1	63,7
	3,27	11,4	98,6					3,25		11,4	96,6
	2,45	17,1	71,3					2,65		17,1	72,2
	2,38	19,5	61,7					2,42		19,5	61,7
	3,04	12,5	96,2					3,14		17,5	96,2
	2,67	16,5	72,9					2,75		16,7	72,9
Варіант 9						Варіант 10
№ з/п	Витрати	Вантажо-оборот	Фондо-місткість			№ з/п		Витрати		Вантажо-оборот	Фондо-місткість
	2,14	17,4	80,3					2,67		15,0	94,0
	2,94	13,8	102,5					2,45		18,6	78,0
	2,67	15,0	94,3					2,86		16,2	87,5
	2,44	18,6	76,0					2,90		15,7	90,2
	2,83	16,2	87,3					2,60		17,9	84,8
	2,92	15,7	90,1					2,72		16,3	95,9
	2,61	17,9	82,8					2,68		17,7	91,0
	2,72	15,3	96,9					2,50		16,8	84,7
	2,68	16,3	83,7					2,74		17,5	88,2

Варіант 11						Варіант 12
№ з/п	Витрати	Вантажо-оборот	Фондо-місткість			№ з/п	Витрати	Вантажо-оборот	Фондо-місткість
	2,83	13,8	68,0				2,69	14,9	69,4
	2,75	14,8	64,3				2,48	16,1	58,7
	2,40	16,9	55,1				2,11	19,7	62,3
	2,30	16,8	55,5				2,82	14,0	83,8
	2,47	14,8	63,3				2,43	17,1	68,5
	2,45	17,9	52,7				2,34	18,2	64,5
	2,48	17,6	53,7				2,48	17,4	67,6
	2,41	15,7	60,2				2,69	16,1	72,9
	2,34	15,2	62,2				2,36	18,8	62,4
Варіант 13						Варіант 14
№ з/п	Витрати	Вантажо-оборот	Фондо-місткість			№ з/п	Витрати	Вантажо-оборот	Фондо-місткість
	2,35	16,8	56,5				2,46	19,0	65,4
	2,48	15,0	64,3				2,70	16,3	73,9
	2,45	17,5	53,7				2,58	17,5	68,5
	2,47	17,6	54,7				2,34	18,4	64,5
	2,42	15,7	60,2				2,43	17,2	69,3
	2,34	15,2	62,4				2,84	15,0	83,8
	2,70	14,9	69,5				2,15	19,8	62,3
	2,48	16,1	58,7				2,49	16,1	58,7
	2,15	19,7	62,3				2,60	14,9	69,4
Варіант 15						Варіант 16
№ з/п	Витрати	Вантажо-оборот	Фондо-місткість			№ з/п	Витрати	Вантажо-оборот	Фондо-місткість
	2,27	32,1	112,5				2,17	33,3	109,4
	1,94	31,0	116,4				1,80	36,1	101,1
	2,32	32,4	111,6				2,36	38,3	102,6
	2,49	33,2	108,9				2,50	30,6	128,5
	2,57	31,2	116,5				2,27	32,1	122,5
	2,01	34,8	104,5				2,33	37,6	105,2
	1,87	35,4	102,7				2,51	34,8	114,8
	2,39	33,0	110,2				2,40	34,2	116,0
	2,18	34,8	104,7				2,50	34,2	116,0

Контрольні запитання й завдання

1. Які завдання виконують у ході побудови моделі регресії?

2. Дайте визначення парної регресії.

3. Які функції найчастіше застосовують для побудови моделі парної регресії?

4. Який вигляд має система нормальних рівнянь МНК у разі лінійної регресії?

5.  За якою формулою обчислюють лінійний коефіцієнт парної
кореляції r?

6.  Як визначають коефіцієнт детермінації? Що він показує?

7.  Яким чином перевіряють значущість рівняння регресії й окремих коефіцієнтів?

8.  Як будують довірчий інтервал прогнозу в разі лінійної регресії?

9.  Що показують коефіцієнт еластичності, середній коефіцієнт еластичності? Як їх обчислюють?

Дата добавления: 2023-10-13