Лабораторна робота 3 Загальна лінійна економетрична модель: побудова і аналіз

Виконавши цю роботу, ви навчитеся:

· оцінювати параметри множинної лінійної моделі за допомогою МНК;

· проводити верифікацію моделі множинної регресії;

· здійснювати економічний аналіз економетричної моделі.

Ключові поняття: множинна регресія; ендогенна змінна; екзогенна змінна; стохастична змінна в моделі; специфікація моделі; параметри регресії; оператор МНК; передумови застосування МНК; умови Гаусса – Маркова; система нормальних рівнянь у матричній формі; статистична значущість економетричної моделі; правило розкладання дисперсії; множинний коефіцієнт детермінації; скоригований коефіцієнт детермінації; F-критерій Фішера; стандартна похибка параметрів моделі; статистична значущість оцінок параметрів; t-критерій Стьюдента; інтервал довіри; інтервальний прогноз; точковий прогноз; похибка прогнозу; коефіцієнт еластичності; бета-коефіцієнт; дельта-коефіцієнт.

Теоретичні відомості

Як відомо, економічні величини формуються під впливом не одного, а цілої низки чинників, між якими можуть бути складні взаємозв'язки. Відтак вплив цих чинників комплексний, і його не можна розглядати як просту суму ізольованих впливів, інакше можна дійти неправильних висновків. Усе це приводить до необхідності застосовувати для дослідження складних економічних явищ багатофакторні моделі: , де  – факторні (пояснювальні) змінні; – істинні параметри моделі; – стохастичне збурення (випадкова компонента, включення якої в рівняння зумовлене тими ж причинами, що й у разі парної регресії).

Вибір типу рівняння багатофакторної моделі ускладнений тим, що можна вибрати цілу низку рівнянь, які певною мірою описуватимуть зв'язок між результативним показником і факторними ознаками. Тому зазвичай досліджують декілька моделей. Поширеними в економічному аналізі функціями є: лінійна, степенева, показникова та деякі інші. Однією з найбільш застосовуваних моделей множинної регресії є лінійна модель. Вона досить поширена в макроекономічних розрахунках, у вивченні виробничих функцій, проблем попиту та ін.

Постановка задачі.Нехай є вибірка, що складається з n спостережень залежної змінної Y і пояснювальних  змінних  (табл. 8).

  Таблиця 8

№ з/п	Y	X1	X2	¼	Xk
	Y1	X11	X12	¼	X1k
	Y2	X21	X22	¼	X2k
¼	¼	¼	¼	¼	¼
n	Yn	Xn1	Xn2	¼	Xnk

За даними вибірки необхідно оцінити параметри лінійної моделі множинної регресії (ЛММР), яку в загальному вигляді записують таким чином: .

Для оцінки параметрів застосовують  класичний підхід до оцінювання параметрів лінійної моделі, заснований на МНК.

Зауваження.МНК застосовний тільки до моделей, лінійних відносно параметрів або звідних до лінійних за допомогою перетворення і заміни змінних.

Припущення моделі.Оцінки , обчислені за МНК, не дозволяють зробити висновок, наскільки близькі знайдені значення параметрів до своїх теоретичних прототипів  і наскільки вони надійні. Тому для забезпечення адекватності моделі і її прогностичної здатності потрібно ввести додаткові припущення – теоретичні обмеження на модель.

Для забезпечення адекватності МНК потрібне виконання таких гіпотез:

1.  (специфікація моделі в лінійній формі).

2. X_t,i, t = 1,…,n, i = 1,…,k – детерміновані величини, причому в матриці

ú

ú

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ë

é

X =

k

n

n

n

k

k

X

X

X

X

X

X

X

X

X

,

,

,

,

,

,

,

,

,

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

стовпці лінійно незалежні, тобто ранг цієї матриці дорівнює . Це означає, що жодна з пояснювальних  змінних не є строгою лінійною функцією інших пояснювальних  змінних.

3.  – випадкова величина, що задовольняє умови Гаусса – Маркова:

1)   математичне сподівання e_i дорівнює нулю: , ;

2)   усі пояснювальні змінні не корелюють із випадковою величиною: ;

3)   випадковий член   має сталу дисперсію: ;

4)   відсутній систематичний кореляційний зв'язок між значеннями випадкового члена в будь-яких двох спостереженнях: для будь-яких

5)   випадковий член розподілений нормально (не обов'язкова, але часто застосовувана умова).

Пояснення умов Гаусса – Маркова

Умова 1 означає, що випадкове відхилення в середньому не чинить впливу на залежну змінну. У кожному спостереженні випадковий член може бути або додатним, або від’ємним, але він не повинен мати систематичного зміщення. Здійсненність умови , , забезпечує виконання рівності

.

Застосування умови 2 має сенс у тому випадку, якщо факторні змінні є випадковими величинами. У разі класичної моделі, коли  – невипадкові величини, ця умова автоматично виконується.

    За умовою 3, незважаючи на те що в кожному конкретному спостереженні випадкове відхилення може бути різним, не має бути жодних апріорних причин для того, щоб в одних спостереженнях похибка була істотно більшою, ніж в інших. Здійсненність цього припущення називають гомоскедастичністю (сталістю дисперсії відхилень), нездійсненність цього припущення називають гетероскедастичністю (несталістю дисперсії відхилень).

    Якщо є гетероскедастичність збурень, то оцінки параметрів рівняння регресії, отримані на основі МНК, є незміщені, але неефективні (тобто вони не матимуть найменшої дисперсії порівняно з іншими оцінками цього параметра). Тому в разі гетероскедастичності доцільно застосовувати узагальнений метод найменших квадратів (УМНК).

Умова 4 передбачає відсутність систематичного зв'язку між значеннями випадкового члена в будь-яких двох спостереженнях, тобто

Наявність такого зв'язку називають автокореляцією залишків. Наприклад, якщо випадковий член великий і додатний в одному спостереженні, це не повинно обумовлювати систематичну тенденцію до того, що він буде великим і додатним у наступному спостереженні. Випадкові члени мають бути абсолютно незалежні один від одного. За наявності автокореляції регресія, оцінена за звичайним МНК, дасть неефективні результати. Тому в цьому випадку, як і в разі гетероскедастичності, слід застосовувати, наприклад, УМНК.

Умова 5 зазвичай передбачає, що залишки розподілені нормально. Це пов’язано з тим, що коли випадковий член e нормально розподілений, то так само будуть розподілені й коефіцієнти регресії. Тому ця передумова потрібна для перевірки статистичної значущості отриманих оцінок і визначення для них довірчих інтервалів.

У разі виконання умов Гаусса – Маркова отримані оцінки параметрів є незміщені, спроможні і ефективні, а модель – адекватна і надійна.

Визначення. Оцінка є незміщена,якщо математичне сподівання оцінки дорівнює його істинному значенню: , тобто .

Визначення. Оцінку називають спроможною, якщо вона дає істинне значення за досить великого обсягу вибірки незалежно від значень конкретних спостережень, що входять до неї. Якщо n досить велике, то, очевидно, параметри, визначені за вибіркою, близькі до істинних значень, які можна отримати з генеральної сукупності. Надійність оцінки за збільшення обсягу вибірки зростає.

Визначення. Оцінку називають ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію порівняно з будь-якими іншими оцінками цього параметра, лінійними відносно Y_i.

Розв’язування задачі:

Оцінене рівняння запишемо таким чином:

,

де  – оцінки істинних параметрів , знайдені за вибіркою (оцінки МНК).

Вищеподане рівняння в матричному вигляді можна записати так:

,

де

;      ;        .

Припускаючи, що між пояснювальними змінними відсутня лінійна залежність (припущення моделі, гіпотеза 2), можна вважати, що матриця  має розмірність  і її ранг дорівнює .

Уведемо величину відхилення спостережуваного значення Y від обчисленого за моделлю значення , а саме , і запишемо функцію критерію МНК: . У матричному вигляді = , де . Тут і далі штрих означає транспонування матриці.

У матричній формі: , тоді .

Виконаємо таке перетворення:

У розглядуваному випадку має місце така властивість: транспонований добуток матриць дорівнює добутку транспонованих матриць, узятих у зворотному порядку. Оскільки величина  – скаляр, вона не змінюється в процесі транспонування, тобто , і отриманий вираз можна переписати таким чином:

.

МНК полягає в знаходженні параметрів на основі мінімізації функції . Запишемо необхідну умову екстремуму:

Із цієї умови отримаємо систему нормальних рівнянь для знаходження параметрів рівняння множинної регресії:

Застосовуючи метод оберненої матриці, розв’язування цієї системи можна записати так: .

Зауваження.

1. Якщо незалежні змінні в матриці X взято як відхилення кожного значення від свого середнього (центровані дані), то матрицю   називають матрицею моментів. Числа, що стоять на її головній діагоналі, характеризують величину дисперсій незалежних змінних, інші елементи відповідають взаємним коваріаціям.

2. МНК для парної регресії – окремий випадок розглянутого в цій роботі методу.

Перевірка якості регресійної моделі:

Визначення. Аналіз якості побудованої моделі називають верифікацією.

Верифікація моделі має статистичний і змістовий складники.

Перевірка статистичної якостіеконометричної моделі включає, зокрема, перевірку:

- властивостей даних, виконання яких було передбачено в ході оцінювання рівняння (наприклад, умов Гаусса – Маркова);

- загальної якості рівняння регресії;

- статистичної значущості коефіцієнтів рівняння регресії;

- точності моделі.

Під змістовим складником аналізуякості розуміють розгляд економічного змісту отриманої моделі і її коефіцієнтів.

Дата добавления: 2023-10-13