Конус другого порядку

Означення. Конусом другого порядку називається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат має канонічне рівняння вигляду

, (3.62)

Основні властивості:

1. Конус є алгебраїчна поверхня другого порядку.

2. Площини О xy, О yz, О хz є площинами симетрії, а початок координат – центром симетрії конуса.

3. З координатними осями конус має лише одну спільну точку – початок координат . Це вершина конуса.

Переріз площиною дає еліпс з півосями і . При лінія перетину конуса з площиною вироджується в точку , а при необмеженому зростанні розміри еліпса необмежено зростають. В перерізі конуса площиною О xz (y = 0) одержуємо лінію

яка розпадається на дві прямі, що перетинаються

і

В перерізі конуса площиною при отримуємо лінію

звідки

або ,

тобто гіперболу. Аналогічна картина має місце при перетині корпуса площиною і взагалі будь-якою площиною, паралельною осі О z (дві прямі, що перетинаються в початку координат, якщо площина перерізу проходить через вісь О z, і гіпербола, якщо площина перерізу паралельна осі О z, але не проходить через неї). Таким чином поверхня конуса утворена прямими, які проходять через вершину конуса і називаються твірними конуса. Ще зазначимо, що переріз конуса площиною, яка паралельна його твірній і не проходить через початок координат, є парабола. Таким чином, перетинаючи конус різними площинами, ми можемо одержати всі різновиди алгебраїчних ліній другого порядку, розглянуті в п. 3.11. Тому алгебраїчні лінії другого порядку іноді називають конічними перерізами або коніками. Розглянуті перерізи дозволяють уявити конус у вигляді поверхні, зображеної на рис. 3.23.

У випадку а = b отримуємо круговий конус, утворений обертанням навколо осі О z прямої, що перетинає вісь О z у початку координат.

Дата добавления: 2014-01-04