Метод Ньютона для системы 2-х нелинейных уравнений

Обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. Нужно решить систему 2-х нелинейных уравнений:

} (3.13)

В основе метода Ньютона для системы уравнений (3.13) служит

разложение функций и в ряд Тейлора, причем члены ряда, содержащие вторые производные и производные более высоких порядков, отбрасываются.

Пусть приближенные значения неизвестных системы (3.13) равны соответственно и . Их определили из начального приближения или они получены на предыдущей итерации. Обозначим приращение (или поправки) к этим значениям и . Через ,и решение системы (3.13) запишется в виде:

. (3.14)

Проведем разложение левых частей уравнений (3.13) с учетом (3.14) в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений (или производными первого порядка):

} (3.15)

Поскольку в соответствии с (3.13) левые части этих выражений равны 0, то приравниваем 0 и левые части. Получим следующую систему линейных уравнений относительно приращений

} (3.16)

Здесь значения и их производные вычисляются при х = а; у = b.

Неизвестные вычисляются по правилу Крамера:

. (3.17)

Здесь J – определитель системы (3.16) (якобиан):

. (3.18)

Для существования единственного решения системы (3.16) на каждой итерации должно выполнятся условие J ≠ 0.

Определители:

(3.19)

После определения и по формуле (3.17), и определяется по формуле (3.14). Напомним, что здесь а и b - значения неизвестных на предыдущей итерации, а x и y – значения неизвестных на рассматриваемой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы (3.13) методом Ньютона состоит в определении приращений и к значениям неизвестных на каждой итерации. Вычисления прекращаются, если все вычисления становятся малыми по абсолютной величине:

; , (3.19)

где - заданная точность.

Метод Ньютона применим для решения системы из n уравнений (n = 2, 3, 4, …). Следует учитывать, что сходимость итерационного процесса ухудшается с увеличением n. Для обеспечения хорошей сходимости важен выбор первого приближения.

Дата добавления: 2014-01-04