Порядок выполнения работы. Тема. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Практическая работа 3

Тема. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Эта работа включает 4 задания. Для расчета используйте СЛАУ из приложения 3 в соответствии с вариантом.

Задание 3.1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (точный метод).

1. Решите СЛАУ методом Гаусса ( вручную):

· прямой ход: приведите СЛАУ к эквивалентной системе с треугольной матрицей А, т.е.

· обратный ход: последовательно вычислите неизвестные x₁,.x₂,,х_n

Пример 3.1. Решите СЛАУ (3.1) используя алгоритм метода Гаусса, приведенный на рис.3.1. Предварительно убедитесь, что система не является вырожденной.

(3.1)

Рис 3.1.Расчетная схема метода Гаусса

Как видно из рис 3.1, решением системы (3.1) является вектор .

Задание 3.2. Используя надстройку Excel поиск решения, решите СЛАУ, заданную вариантом.

При решении СЛАУ с помощью надстройки Excel используются итерационные (приближенные) методы. Строится последовательность приближений, Назовем вектором невязок следующий вектор:

(3.2)

Задача Excel заключается в том, чтобы найти такое приближение , при котором вектор невязок был бы нулевым, т.е. добиться совпадения значений правых и левых частей системы .

Последовательность действий:

1.
Оформите таблицу для решения СЛАУ (3.1), как показано на рис.3.2.

Рис 3.2. Решение СЛАУ с помощью надстройки

2. В ячейки А7:С7, где будет сформировано решение системы (х₁, х₂, х₃ ), первоначально введите какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, .

3. Введите коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.

4. В столбец D введите выражения для вычисления левых частей исходной системы . Для этого можно использовать функцию СУММПРОИЗВ, из категории Математические.

5. В столбец Е запишите значения правых частей системы (матрицу В).

6. В столбец F введите невязки в соответствии с формулой (3.2). Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .

7. Выберите вкладку Данные, панель Анализ и нажмите кнопку Поиск решения.

8. В окне Поиск решения (рис.3.3) в поле Изменяемые ячейки укажите блок $А$7:$С$7, а в поле Ограничения – $F$3:$F$5=0. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения. Щелкните на кнопке Выполнить.

Рис. 3.3. Окно Поиск решения

Решение системы (3.1.) х₁=1; х₂=-1 х₃=2 получено в ячейках А7:С7, рис.3.2.

Сравните результаты решения с полученным выше решением этой же системы методом Гаусса.

Задание 3.3. Решите СЛАУ итерационным методом Якоби с заданной точностью e. Проанализируйте сходимость итерационного процесса в зависимости от e=0,1;. 0,01;.. 0,001.

Дата добавления: 2014-11-07