Пример решение СЛАУ методом Якоби

Порядок выполнения работы

1. Для расчета используйте СЛАУ задания 3.1.

2. Решите СЛАУ методам Якоби. Если итерационный процесс получился расходящимся, преобразуйте исходную систему к виду, пригодному для построения итерационного процесса, т.е. к системе с «преобладанием диагональных элементов» матрицы системы.

3. Проверьте правильность сделанных преобразований, решив преобразованную СЛАУ с использованием надстройки Поиск решения.

4. Решите вручную систему методом Якоби, вычислив три итерации. В качестве нулевого приближения возьмите нулевой вектор . Сделайте вывод о продолжении или прекращении итерационного процесса для e=0,1.

5. Решите систему методом Якоби с точностью e=0,01, используя приложение Excel. Расчетная схема приведена на рис.3.4.

6. Исследовательская часть (численный эксперимент). Проанализируйте характер полученных решений для различных значений e =0,1; 0,01; 0,001, построив диаграмму n=n(ε).

7. Проследите сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (рис.3.5 или рис.3.6).

Пример 3.2.

Найти решение СЛАУ(3.3) методом Якоби.

(3.3)

Прежде всего, убеждаемся, что итерационный метод Якоби можно использовать для заданной системы (3.3), т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэф-фициентов» матрицы системы, что обеспечивает сходимость метода, т.е.

(3.4)

Приведем систему(3.3) к нормальному виду:

, (3.5)

или в матричной форме

,

где

,

Расчетная схема метода Якоби приведена на рис (3.4).

На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.

Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом:

· Рассмотрим вектор разности двух соседних итераций

;

· Если норма этого вектора удовлетворяет условию

(3.6)

или

то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы (3.3) с заданной точностью e принимается k -ое приближение, т.е.

(3.7)

Для проверки выполнения условия (3.6) используйте «условное форматирование» (рис.3.4)

Если условие (3.6) не выполнено, то итерационный процесс необходимо продолжить.

Рис.3.4. Расчетная схема метода Якоби

Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с точностью e=0,1 четвертую итерацию,

т.е. х₁ =1,0216; х₂ = 2,0225, х₃ = 0,9912

Изменяя значение e в ячейке Н5 можно получить новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Проанализируйте сходимость итерационного процесса, построив графики (рис.3.5) изменения каждой компоненты вектора решения СЛАУ в зависимости от номера итерации.

Рис. 3.5. Иллюстрация сходящегося итерационного процесса

Иллюстрация расходящегося процесса представлена на рис.3.6.

Рис. 3.6. Иллюстрация расходящегося итерационного процесса

Задание 3.4. Проанализироватькорректность задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).

Порядок выполнения работы

1. Вычислите нормы матриц А и А^-1 (можно вручную).

2. Исследуйте обусловленность матрицы, вычислив меру обусловленности m(А). Сделайте заключение об обусловленности матрицы A и заданной системы.

3. Проведите численный эксперимент: задайте небольшое возмущение исходных данных (элементов матрицы А, В (~0.1)) и снова решите систему, используя надстройку «Поиск решения»). Проанализируйте, как изменились результаты.

4. Проанализировав полученные данные, сделайте заключение о корректности исходной задачи (существование, единственность, устойчивость решения).

Контрольные вопросы к практической работе №3

1. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Что является решением СЛАУ. Когда существует единственное решение СЛАУ.

2. Общая характеристика прямых (точных) методов решения СЛАУ. Методы Гаусса.

3. Общая характеристика итерационных методов решения СЛАУ. Методы Якоби (простых итераций).

4. Условия сходимости итерационных процессов.

5. Что понимают под терминами корректности задачи решения СЛАУ.

.

Дата добавления: 2014-11-07