Линейные операции над векторами. В природе существует два рода величин: скалярные и векторные

ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Литература: 1. [1Д]‚§1;

2. [2Д]‚§5;

3. [3Д]‚гл·І‚§1.

В природе существует два рода величин: скалярные и векторные. Величины, для задания которых достаточно знать их численное значение, называются скалярными. Например, температура, путь, масса, объем, электрический заряд, работа и т.д. Величины, для задания которых необходимо знать не только их численное значение, но и направление в пространстве, называются векторными. Например, сила, действующая на тело, перемещение, скорость, ускорение, момент вращения и т.д. Векторы обозначаются или, где - начало вектора, - его конец. Длина вектора называется его моду-

лем и обозначается или.

В математике рассматриваются свободные векторы, т.е. такие, которые можно переносить параллельно себе, в частности, вдоль линии их действия.

Коллинеарные векторы - это векторы, направление которых совпадает или противоположны, что обозначают ||.

Компланарные векторы - это векторы, лежащие в параллельных плоскостях, в частности, в одной плоскости. Очевидно, что любые два вектора компланарные, так как могут быть приведены параллельным переносом к одной плоскости.

Два вектора и называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Обозначают.

Литература: 1. [1Д]‚§2.

1. Суммой векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора находится в конце вектора.

Геометрически это правило называют правилом треугольника (рис. 2.1.а) или параллелограмма (рис. 2.1. б) сложения векторов.

а) б)

Рис. 2.1 Сложение векторов по правилу треугольника (а) и параллелограмма (в)

Свойства сложения векторов:

а) + = + (перестановочное или коммутативное свойство),

б) + + = + (+) (сочетательное или ассоциативное свойство),

в) + 0 = (- нулевой вектор, т.е. = 0,

г) + (-) = 0 (- - вектор, противоположный вектору).

Перечисленные свойства сложения векторов позволяют сформулировать и обосновать:

1) обратную операцию операции сложения - разность векторов и как вектор такой, который в сумме с вектором дает вектор (рис. 2.2. а),

2) сложение произвольного конечного числа векторов (геометрическое правило замыкания ломаной до многоугольника) (рис. 2.2. б).

а) б)

Рис.2.2 Вычитание векторов (а) и сложение векторов по правилу многоугольника (б)

2. Произведение векторана число - это такой вектор, который удовлетворяет условиям:

а)

б) векторы и - сонаправленные, если число > 0, и противоположно направленные,

если < 0.

Таким образом, из определения операции умножения вектора на число следует, что векторы и = или сонаправленные или противоположно направленные, т.е. коллинеарные.

Свойства умножения вектора на число:

а),

б)

в) (как и - некоторое число),

г) (+) = + (распределительное свойство),

д) (₁ + ₂) = ₁ + ₂.

Операции сложения векторов и умножения векторов на число называются ли-нейными.

Вектор называется линейной комбинацией векторов ₁, ₂,, ₃,..., _n, если его можно представить в виде = _{1 1} + _{2 2} + _{3 3} +... + _{n n},

где ₁, ₂, ₃,..., _n — некоторые числа. Это равенство называют также разложением вектора по векторам ₁, ₂,, ₃,..., _n .

Например, = 5 ₁ + 2 ₂ - ₃ есть разложение вектора по векторам ₁, ₂,, ₃,.

Дата добавления: 2014-10-22