Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, , . Если у дроби степень числителя меньше степени знаменателя, то она называется правильной, в противном случае – неправильной. Неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби, используя алгоритм деления многочленов. Например, . В этом случае интеграл от исходной дроби сведется с помощью метода разложения к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби.

Для нахождения интеграла делают замену . В итоге имеем .

Интеграл , если , приводится к табличному (вынося в знаменателе), если , к табличному . Для интеграла используют замену .

В общем случае применяют метод неопределенных коэффициентов, представляя подынтегральную функцию в виде , где – некоторые числа, которые находятся из этого равенства, приводя дроби правой части к общему знаменателю.

Пример. Найти .

Решение. Имеем , ,

, . Получаем систему

Решив ее, находим и . Итак, .

Следовательно, .

Итак, интегрирование правильной рациональной дроби приводят к интегрированию простейших дробей. Например, , .

Дата добавления: 2014-11-26