Решение. Примеры построения графика функции

Примеры построения графика функции

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Функция определена для всех действительных значений точек числовой прямой.

2. Выясняем, является ли функция четной или нечетной . Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.

3. Так как область определения функции все действительные числа, то точек разрыва нет.

4. Находим пределы и . Итак, функция неограниченно возрастает, когда возрастает , и неограниченно убывает, когда , поэтому горизонтальных асимптот нет. Вертикальных асимптот также нет, так как нет точек разрыва. Предел , поэтому наклонных асимптот нет.

5. Определяем, точки пересечения с осями координат. Имеем для значения . Точки пересечения с осью абсцисс находим, решив уравнение : , .

6. Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции и точек возможного экстремума находим первую производную . Решая уравнение , получаем критические точки: и . Отмечаем эти точки на числовой прямой и определяем знак первой производной на полученных промежутках.

Имеем: для значений функция возрастает, а для значений убывает. Точка будет точкой максимума, а точкой минимума. Вычисляем значения функции в этих точках: , .

7. Находим вторую производную . Вторая производная обращается в ноль, если . Отмечаем эту точку на числовой прямой и определяем знак второй производной.

На промежутке вторая производная отрицательная – график функции выпуклый вверх, на промежутке вторая производная положительная – график выпуклый вниз. Точка – точка перегиба графика функции .

8. По результатам исследования строим график функции. Для этого в системе координат строим точку максимума с координатами (-2; 2) и минимума с координатами (0; -2), точки пересечения с осями координат и точку перегиба. Через эти точки с учетом промежутков возрастания и убывания функции, а также выпуклости изображаем график функции.

Пример 2. Построить график функции .

1. Областью определения являются все действительные числа, за исключением .

2. Функция является нечетной, так как .

3. Находим пределы и . Точка является точкой разрыва второго рода.

4. Прямая будет вертикальной асимптотой графика функции. Вычисляем пределы и . Отсюда следует, что горизонтальных асимптот нет. Для определения наклонной асимптоты находим , . Итак, прямая будет наклонной асимптотой.

5. Точек пересечения с осью ординат нет, так как . Уравнение или решений не имеет, поэтому точек пересечения осью абсцисс нет.

6. Исследуем функцию с помощью первой производной , которая равна нулю в точках и не существует в точке .

В точке имеем , а в точке имеем .

7. С помощью второй производной , которая не существует в точке , определяем промежутки выпуклости.

Для значений функция выпукла вверх, а для значений функция выпукла вниз.

Дата добавления: 2014-11-26