Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Нахождение неопределенных интегралов

Лекция 7. Неопределенный интеграл.

По этим результатам строим график функции, который симметричен относительно начала координат.

.

Одной из главных задач дифференциального исчисления является задача нахождения скорости изменения какой-либо функции, то есть задача нахождения производной данной функции.

На практике, в том числе и при решении экономических задач, часто приходится решать обратную задачу: зная скорость изменения функции (процесса), найти эту функцию (закон процесса). Например, требуется найти функцию F (x), про которую известно, что её производная есть некоторая функция Здесь что можно проверить дифференцированием Заметим, что функцию можно взять в виде где C – произвольная постоянная (число), так как дифференцирование постоянной величины дает ноль.

Функция F (x) называется первообразной функцией для функции f (x) на промежутке Х, если F´ (x)= f (x) в каждой точке этого промежутка. Например, для функции первообразной будет функция

Следующие теоремы дают ответы на вопросы, для каких функций существует первообразная и как отыскать все первообразные для данной функции.

Теорема 1. Любая непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первообразную.

Теорема 2. Если функция есть первообразная от функции на промежутке Х, то всякая другая первообразная от отличается от на постоянное слагаемое, то есть может быть представлена в виде , где – постоянная.

Множество всех первообразных функций для функции называется неопределенным интегралом от функции на промежутке и обозначается символом .

Таким образом, где – знак интеграла, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых , то есть каждому числовому значению соответствует определенная кривая семейства, которая называется интегральной кривой.

Нахождение неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием этой функции. Эта операция является обратной для операции дифференцирования. При интегрировании применяются свойства неопределенного интеграла, таблица неопределенных интегралов и специальные методы интегрирования.

Дата добавления: 2014-11-26