Решение задач

7.1. Можно ввести время движения со скоростью 40 км/час, составить уравнение и получить ответ (это время сократится), но можно проще – за последние три часа автомобиль проехал 120 км, т.е. средняя скорость за последние три часа тоже 40 км/час. Итак, средняя скорость на всем пути 40 км/час. За последние 2,5 часа 120/2,5= 48 км/час.

7.2. Посчитаем среднюю плотность и сравним с плотностью ртути: 19,3∙2/3 + 2,7∙1/3 = 13,77 (г/куб.см). Это больше 13,6 г/куб.см, утонет.

7.3. Тут нужно считать. Можно догадаться (знакомое число!), что 1048576 = 2²⁰, но можно и без этого. Запишем цепочку чисел: 10485.76 5242.88, 2621.44, 1310.72, 655.36, 327.68. 163.84, 81.92, 40.96, 20.48, 10.24, 5.12, 2.56, 1.28, 0.64, 0.32, 0.16, 0.08,

0.04, 0.02, 0.01, 0, … 0. (если округлять 0,5 до «четной», либо – по 1 копейке до конца). Сумму посчитать можно геометрически, по площадям прямоугольников, можно посчитать и «в числах» - это ничуть не хуже. Ответ при округлении до нулей 10485.76∙2 -0.01 = 20971.51 (или на 10 копеек больше – если вместо нулей в последние дни считать 1 коп). Конечно, задача плохая – но к ноябрю в 7 классе еще ничего не пройдено…

8.1. Посчитаем среднюю плотность и сравним с плотностью ртути: 19,3∙2/3 + 2,7∙1/3 = 13,77 (г/куб.см). Это больше 13,6 г/куб.см, утонет. (Задача совпадает с 7.2)

8.2. Обозначим теплоемкость стакана С, Дж/град, тогда

С∙(23-20) + 4200∙0,5V∙(23-20) = 4200∙0,5V∙(30-23)

С∙(t-20) + 4200∙(V/3)∙(t-20) = 4200∙(2V/3)∙(30-t). Если разделить каждое уравнение на 4200V, останется две неизвестных величины: С/4200V и t. Ответ: t= 24⁰C.

8.3. Легко сообразить, что 1 час скорость была 40 км/час, затем 1 час скорость 80 км/час, третий час – скорость 90 км/час. Половина пути 105 км. Средняя скорость на первой половине V₁= (40+65)/(1 + 65/80) = 58 км/час. Средняя скорость на второй половине V₂= (105)/(15/80 +1) = 88,4 км/час.

8.4. Время погони 100/0,002 = 50000 с. Кролик за это время пробежал 0,628∙50000= 3,14∙10⁴ м. Один круг кролик пробегает примерно за 628/0,628 = 1000 секунд. Получается почти 50 кругов. Более точное значение длины 50 кругов 2∙3,1415926∙100∙50 = 31415,926 м. Расстояние «по дуге» 15,93 м, примерно 16 м. По хорде (т.е. по прямой) – практически столько же.

9.1. Температура снаружи выше – поэтому теплообмен с окружающей средой сводится к притоку тепла в систему. Тогда

4200∙0,4∙(t-15) - 2000 = 4200∙0,5∙(20-15). T=7,5⁰C

9.2. Либо движение закончилось до начала четвертой секунды (т.е. продолжалось меньше трех секунд). В этом случае, (принимая g= 10 м/с²)начальная скорость V≤ 15 м/с. Либо верхняя точка полета пришлась точно на середину четвертой секунды – т.е. начальная скорость была «погашена» за 3,5 сек. В этом случае начальная скорость V= 35 м/с.

9.3. Ток через резистор 200 Ом в любой момент в 2,5 раза больше тока через 500 Ом, суммарный ток через 100 Ом в любой момент в 3,5 раза больше тока через 500 Ом – тогда заряд, протекший через 100 Ом равен 0,5∙3,5=1,75 Кл. Суммарный ток через резистор 100 Ом в любой момент больше тока через 200 Ом ровно в 1,4 раза. Тогда в нем выделилось почти столько же тепла (точнее, 10∙1,4²∙100/200 = 9,8 Дж).

9.4. Данные задачи позволяют определить зависимость силы сопротивления от скорости и поперечной площади падающего тела. Подходит модель F= k∙S∙V². При уменьшении диаметра тела в 10 раз его масса уменьшилась в 1000 раз, площадь поперечного сечения стала меньше в 100 раз. При сохранении зависимости сила сопротивления уравновесит силу тяжести при скорости в 10 раз меньшей, т.е. установившаяся скорость падения 10 м/с.

10.1. Если ускорение ограничено, то поворот может происходить только при нулевой скорости. Если принять начальную скорость за ноль, то первый отрезок нужно проходить так: двигаться с максимальным ускорением до середины отрезка, а затем тормозить с максимальным ускорением. Тогда первый отрезок будет пройден за время τ₁= 2(L/a)^0,5= 63,25 с. Если проходить все четыре стороны так же, как и первую, понадобится 4∙τ₁=253 с. Однако, в условии ничего не сказано про начальную (и конечную!) скорости, этим можно воспользоваться для ускорения процесса – не тормозить на последнем отрезке и заранее разогнаться до начала первого (до такой скорости, чтобы успеть затормозить к концу первого отрезка). При этом первый и последний отрезки можно пройти за время τ₂= (2L/a)^0,5=44,7 с и весь квадрат за время 2∙τ₁+2∙τ₂= 216 с. Возможны и промежуточные варианты типа 3∙τ₁+τ₂= 235 с. На вопросы нужно отвечать аккуратно: «В условии это не указано!», решение без хитростей (4∙τ₁) следует оценивать в 4 балла из 5.

10.2.Задачу можно решать «в лоб», но есть и более короткое решение: на груз m действует вверх сила натяжения Т, вниз сила mg, на груз 2m вверх сила 2Т, вниз – сила 2mg. Итак, ясно – ускорения грузов одинаковы (и направлены в одну сторону, например – вверх). Обозначим их ускорения а, тогда ускорение блока а₀= 1,5а. Сила натяжения нити Т= 0,5F. Для маленького груза 0,5F – mg = ma. Отсюда F= 2m∙g + 2m∙a₀|3 = 21,3 Н

10.3. Тут нужно понять – двигаются ли грузы вместе, или сила трения недостаточна и они имеют разные ускорения. Максимально возможная сила трения при μ=0,7 равна 7 Н. Проверим возможность движения без проскальзывания тел друг относительно друга: ускорение а= (12-4)/(1+3) = 2 м/с². Для этого нужна сила трения: f_ТР – f = ma, или f_ТР= 4+2= 6 Н для малого и F - f_ТР = Ma, f_ТР = 12 – 6 = 6 Н. Итак, при данном значении коэффициента трения тела едут вместе с ускорением 2 м/с². Для μ=0,5 максимальное значение силы трения 5 Н, ее недостаточно для движения тел без проскальзывания, ускорения тел различны и сила трения равна своему максимальному значению 5 Н. Ускорение малого: (5-4)/1 = 1 м/с2 против силы f. Ускорение большого (12-5)/3 = 2,33 м/с².

10.4. Температура снаружи выше – поэтому теплообмен с окружающей средой сводится к притоку тепла в систему. Тогда

4200∙0,4∙(t-15) - 2000 = 4200∙0,5∙(20-15). T=7,5⁰C (Задача совпадает с 9.1).

10.5Глядя на параллельно соединенные приборы, отметим – при токе через миллиамперметр 7 мА напряжение на нем составляет 0,3 В, при токе 2,7 мА напряжение составит 0,3∙2,7/7 = 0,116 В. Тогда напряжение на резисторе составит 2,7+0,116= 2,816 В. Ток через параллельный вольтметр тоже легко найти: через «последовательный» вольтметр при напряжении 2,7 В течет ток 2,7 мА – при напряжение 0,3 В ток составит 0,3 мА. Итак, ток через резистор составляет 7+0,3 – 2,7 = 4,6 мА. Сопротивление резистора R= 2,816/4,6∙10^-3= 612 Ом

11.1.

Стержень немного «перекосится», смещения его концов будут неодинаковыми. Правый конец сместится на вдвое меньшую величину d (две пружины, такая же сила – моменты этих сил относительно середины стержня одинаковы), левый конец сместится на 2d, смещение середины стержня 1,5d. Удлинения пружин: левой 2d, правых – каждой – d, средней (1 см – 1,5d). Из условия равновесия сил: k∙2d + 2k∙d = k∙(1 – 1,5d), отсюда d= (2/11) см. Тогда натяжения пружин 40 Н, 20 Н, 20 Н, 80 Н.

11.2. Совсем простая задача. От нагревателя за цикл получено 1620 Дж, холодильнику отдано 1000 Дж. Работа в цикле 620 Дж. Термодинамический к.п.д. 620/1620= 31/81. Примерно 38%

11.3. Обозначим заряды шаров Q₁ и Q₂, тогда k∙Q₁/R – k∙Q₂/R = V₀. Если конденсатор зарядится q и –q, то получим соотношение: k∙(Q₁-q)/R – k∙(Q₂+q)/R = q/C. Отcюда q = (k∙Q₁/R – k∙Q₂/R)/(Энергия электрического поля до подключения конденсатора W₁= k∙Q₁²/2R + k∙Q₂²/2R, энергия после установления зарядов W₂= k∙(Q₁-q)²/2R+k∙(Q₂+q)²/2R+ q²/2C. Разность энергий W₁ – W₂ из системы «ушла» - если есть потери (например – соединяющие провода имеют определенное сопротивление), то перешла в тепло, если потерь нет, то излучилась в окружающее пространство (при очень малом, но ненулевом сопротивлении проводов – частично излучается, частично переходит в тепло). Вычисляем:

W₁ – W₂ = 0,5V₀²/(1/C + 2k∙R) = 0,5V₀∙q. (После расчета перетекшего заряда ответ можно записать сразу – заряд перетекает при средней разности потенциалов 0,5V₀).

Если заряды шаров сразу приняты равными по величине (в условии этого нет!), то оценку задачи следует понизить на 1 балл.

11.4. Если показания одного из «нижних» вольтметров V, то второй покажет столько же, верхний покажет (6-2V). Обозначим сопротивление вольтметра R, тогда ток 1 мА равен разности токов правой ветви: I₀ = (6-2V)/R – V|R. Отсюда V = 5/3 В. Показания вольтметров: V,V и (6-2V)= 8/3 В. Сопротивление r: r∙I₀ = 2V – 3 = 1/3 В. Сопротивление резистора r= 1/3 кОм.

11.5Изображение точечного источника получается на расстоянии 30 см от линзы. Проведем из источника «крайние» лучи – за линзу и после преломления в линзе. Сразу видна область пространства, из которой виден источник света (там, где он не закрыт линзой) и область из которой видны преломленные лучи. Обозначим расстояние от плоскости линзы до «пунктира» - самых близких из удовлетворяющих условию точек Х, тогда из подобия: 30/(Х-30)= 150/(150+Х). Х= 75 см.

Дата добавления: 2014-11-18