Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

В классическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные функции. Между тем при решении практических задач эти методы оказываются, как правило, либо совсем бесполезными, либо их решение связано с недопустимыми затратами усилий и времени. Для решения прикладных задач созданы методы приближенного решения дифференциальных уравнений, которые условно можно подразделить на три основные группы.

1. Аналитические методы, применение которых даст решение дифференциальных уравнений в виде аналитической функции (метод Пикара, [17]).

2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика (метод Эйлера).

3. Численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы (метод Рунге-Кутта).

Ниже рассматриваются относящиеся к указанным группам некоторые избранные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида (1). Что же касается дифференциальных уравнений n-го порядка:

y ⁽ⁿ⁾ = f (x,y,y ¢,..., y ^{(n -1)}), (4)

для которых задача Коши состоит в нахождении решения y=y(x), удовлетворяющего начальным условиям

, , (5)

где – заданные числа, то их можно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Так, например, уравнение второго порядка

, (6)

можно записать в виде системы двух уравнений первого порядка при помощи стандартной замены:

. (7)

Методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений основываются на соответствующих методах решения одного уравнения (см. [17]).

Очевидно, что ставить вопрос об отыскании приближенных значений интеграла или решения y(x) уравнения (1) можно в том и только в том случае, если решение y(x), удовлетворяющее условию (3), существует и единственно. Как известно из общей теории дифференциальных уравнений, для этого достаточно, чтобы фигурирующая в правой части уравнения (1) функция f(x,y) была непрерывна в рассматриваемой области по обоим аргументам и имела ограниченную частную производную.

Дата добавления: 2014-12-16