КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Исследований
Сначала рассмотрим основные законы распределения вероятностей дискретных случайных величин. Определение: Говорят, что дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону, если ее возможные значения представляют собой ряд целых неотрицательных чисел от 0 до n, а вероятности возможных значений определяются по формуле Бернулли, т.е. , где k – возможное значение случайной величины; n, p – некоторые постоянные (0< р <1, n ϵ N), называемые параметрами закона; q = 1- p. В этом случае табличный закон распределения случайной величины Х имеет вид:
Название данного закона связано с тем, что значения вероятностей численно равны соответствующим членам разложения бинома Ньютона: Класс биноминальных распределений обычно обозначается В(n,p). Если Х В(n,p), то М(Х) = np, D(Х) = npq. Пример: Монета брошена два раза. Написать закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «орла», вычислить математическое ожидание и дисперсию. Решение: Очевидно, что данная случайная величина имеет биномиальное распределение. Для вычисления вероятностей возможных значений Х применяем формулу Бернулли: . Составим закон распределенияслучайной величины Х:
Математическое ожидание и дисперсию вычисляем по формулам: М(Х) = np, D(Х) = npq. ; . Определение: Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения представляют собой ряд натуральных чисел, а вероятность возможного значения k вычисляется по формуле: , где р – параметр закона (0< р <1); q = 1- p. В этом случае табличный закон распределения случайной величины Х имеет вид:
Класс геометрических распределений обычно обозначается G(p). Если Х G(p), то , . Случайная величина, имеющая геометрическое распределение, возникает при описании числа испытаний до первого успеха (включая этот успех) в серии испытаний по схеме Бернулли. При этом р – вероятность успеха в отдельном испытании. Заметим, что вероятности возможных значений данной случайной величины представляют собой члены убывающей геометрической прогрессии: Применяя формулу суммы всех членов этой прогрессии, получаем, что сумма всех вероятностей случайной величины Х равна единице: . Пример: Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Как только студент обнаруживает незнание вопроса, преподаватель ставит оценку. Вероятность ответить на любой дополнительный вопрос для студента равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х – числа дополнительных вопросов, вычислить математическое ожидание и дисперсию. Решение: Очевидно, что Х G(p), причем «успех» – это незнание вопроса. Следовательно, р = 1 - 0,9 = 0,1; q = 0,9. Составим закон распределенияслучайной величины Х:
Применяя формулы для геометрического распределения, находим математическое ожидание и дисперсию: ; . Можно сделать вывод, что при данных условиях, среднее число дополнительных вопросов, заданных студенту равно 10. Определение: Говорят, что дискретная случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если ее возможными значениями могут быть только целые неотрицательные числа 0,1,…, k,… (последовательность этих значений теоретически не ограничена), а вероятность возможного значения k вычисляется по формуле Пуассона: , где λ – параметр закона (λ > 0).
В этом случае табличный закон распределения случайной величины Х имеет вид:
Причем сумма всех вероятностей представляет собой ряд, сходящийся к единице: Класс распределения Пуассона обычно обозначается Р(λ). Если Х Р(λ), то М(Х) = D(Х) = λ. По закону Пуассона распределено, например, число вызовов на телефонной станции за фиксированный промежуток времени t, число отказов в работе радиоаппаратуры за время t, и так далее. Это закон распределения вероятностей массовых (n велико) и редких (р мала) событий. Определение: Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если ее возможными значениями являются целые неотрицательные числа 0, 1, 2, …, min (M, n), а вероятность возможного значения m вычисляется по формуле: , где N, M, n – некоторые постоянные (параметры закона распределения); N, M, n N. В этом случае табличный закон распределения случайной величины Х имеет вид:
Заметим, что если n значительно меньше N (практически, если n < 0,1N), то гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону. Случайная величина, имеющая гипергеометрическое распределение, возникает, например, при описании числа m стандартных изделий среди n отобранных из партии N изделий, среди которых М стандартных (М < N). Каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью, причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима). Пример: Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных. Решение: Из условия следует, что N = 50, M = 20, n = 5, m = 3. По формуле для гипергеометрического распределения получаем: . Теперь рассмотрим основные законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин. Определение: Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х называют равномерным, если на промежутке, которому принадлежат все возможные значения этой случайной величины, плотность распределения вероятностей сохраняет постоянное значение. Определение: Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х называют равномерным на отрезке [а;b], если его плотность выражается формулой:
Класс равномерных распределений с параметрами a и b обычно обозначается R (a; b). Функция равномерного распределения вероятностей на отрезке [ а;b ] задается формулой: Построим графики плотности и функции распределения вероятностей для равномерно распределенной случайной величины Х:
f (x,a,b)
0 a b x
F(x,a,b)
1
0 a b x
Если случайная величина X ϵ R(a;b), то ее математическое ожидание и дисперсию можно вычислить по формулам: ; Равномерному закону подчинены, например, ошибки округления. Определение: Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью: ; где λ – постоянная положительная величина. Функция показательного распределения вероятностей задается формулой: Построим графики плотности и функции распределения вероятностей для непрерывной случайной величины Х,распределенной по показательному закону:
f(x; λ ) λ
0 х
F(x) 1
0 х
Класс показательных распределений обозначается Е(λ). Если случайная величина X ϵ Е(λ), то ее математическое ожидание и дисперсию можно вычислить по формулам: Примерами случайных величин, распределенных по показательному закону, служат: длительность телефонного разговора; время обслуживания заявки в системе массового обслуживания; длительность работы электронных ламп, полупроводниковых приборов и т.д. Поэтому показательный закон играет исключительную роль в теории надежности и в теории систем массового обслуживания. Определение: Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью:
где а, σ – параметры распределения (а ϵ (-∞;+∞), σ > 0). N(a,σ) – класс нормальных распределений. Вероятностный смысл параметров: а – математическое ожидание нормального распределения;
σ – среднее квадратическое отклонение нормального распределения. Действительно, по определению математического ожидания получаем: т.к. первое слагаемое равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция, а пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), второе слагаемое – интеграл Пуассона . По определению дисперсии, учитывая, что М(Х) = а, имеем:
Определение: Общим называется нормальное распределение с произвольными параметрами а и σ (σ > 0). Определение: Нормированным называется нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 1. Пример: Пусть Х – нормальная величина с параметрами а и σ. Тогда – нормированная нормальная величина, M(U)=0, σ(U)=1. Плотность нормированного распределения определяется формулой: . Функция F(x) общего нормального распределения определяется формулой: , а функция нормированного распределения имеет вид: Заметим, что вероятность попадания нормированной нормальной величины Х в интервал (0; Х) можно найти, пользуясь интегральной функцией Лапласа: Действительно, Заметим, также, что Действительно, φ(x) – четная функция. Пользуясь свойством плотности и определением функции распределения, получаем: Определение: График плотности нормального распределения называется нормальной кривой (кривой Гаусса).
График симметричен относительно прямой x = a. При а = 0, σ = 1 нормальную кривую называют нормированной кривой. Нормальная кривая имеет две точки перегиба: . Можно провести исследование функции методами дифференциального исчисления и убедиться в этом. Заметим, что закон распределения нормальной случайной величины полностью определяется заданием а и σ. При изменении а график плотности не меняет своего вида, а лишь сдвигается влево или вправо. Поэтому а еще называют параметром сдвига. Параметр σ – расстояние между точкой максимума и точкой перегиба. Поэтому говорят, что σ – мера «широты» кривой и называют параметром масштаба.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 721; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |