Расчет разветвленной цепи

Запишем сначала законы Кирхгофа в комплексной форме. Для этого подставим в уравнение (1.13) вместо i_k комплексы токов и, вынеся e^jωt за скобки, получим первый закон Кирхгофа в комплексной форме

.

Аналогично получим второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

.

В предыдущей главе были получены на основе законов Кирхгофа специальные методы расчета разветвленных цепей – метод контурных токов, метод узловых потенциалов и т.д. Все они могут применяться для расчета цепей при гармонических токах, но вместо сопротивлений R необходимо использовать комплексные сопротивления Z, вместо токов I_k и ЭДС E_k – комплексы токов и ЭДС (см. пример 3.6).

Аналитические расчеты электрических цепей гармонического тока рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы иметь возможность качественно контролировать эти расчеты. В некоторых случаях строят топографические диаграммы, на которых отражены комплексные потенциалы всех точек электрической цепи с учетом ее топографии. Это позволяет определить разность потенциалов между любыми точками электрической цепи, измерив расстояние между этими точками на диаграмме и умножив его на масштаб. При этом можно определять и углы фазовых сдвигов напряжений и токов.

Топографические диаграммы. При построении топографических диаграмм следует иметь в виду, что разность потенциалов изображается на комплексной плоскости (рис. 3.18, в) вектором, направленным к точке a, а на схеме эта разность потенциалов изображается стрелкой, направленной в порядке чередования индексов от a к b.

Так как ток направлен от более высокого потенциала к низкому, а стрелки векторов будут направлены к более высокому потенциалу, построение топографической диаграммы следует выполнять, двигаясь от точки к точке против направления тока. Тогда векторы напряжений на сопротивлениях будут параллельны токам на этих сопротивлениях, векторы напряжений на индуктивностях будут перпендикулярны к соответствующим токами и повернуты против часовой стрелки (опережают токи на π/2), а векторы напряжений на конденсаторах перпендикулярны соответствующим токам и повернуты по часовой стрелке (отстают от токов на π/2).

П р и м е р 3.7. Определить токи в электрической цепи (рис. 3.18, а) и построить топографическую диаграмму, если ; R ₁ =R ₂ =R ₃ = 10 Ом; X_L=X_C= 20 Ом.

Р е ш е н и е. Методом двух узлов определяем напряжение между узлами U_cf:

= 111+ j 51,5 В.

Рассчитываем токи в ветвях:

Строим на комплексной плоскости треугольник токов, откладывая сначала ток , а затем к нему прибавляя ток и замыкая их сумму током (масштаб выбираем произвольно, например m_I =1 А/см).

Построение топографической диаграммы начнем с точки f, считая ее потенциал равным нулю. Потенциал точки d определим, умножив ток I ₃ на индуктивное сопротивление X_L, т.е. =68+ j 86 В. Выбираем масштаб напряжений m_U =20 В/см и откладываем по оси абсцисс отрезок 3,4 см, а по оси ординат отрезок 4,3 см. По этим проекциям строим вектор (стрелка на диаграмме направлена к точке d, а на электрической схеме наоборот). Отмечаем, что вектор перпендикулярен току и опережает его на угол π/2. Можно было просто отложить из начала координат вектор длиной =5,5 см перпендикулярно току I ₃ (при этом вектор U_df должен быть повернут относительно тока I ₃ на угол 90° против часовой стрелки). Определив напряжение на резисторе R ₃, U_cd=I ₃ R ₃=55 В, отложим это напряжение из конца вектора параллельно вектору . Затем определим напряжение на конденсаторе U_bc=I ₁ X _C=115,2 В и отложим его из конца вектора U_dc перпендикулярно вектору тока I ₁. Затем определим напряжение на сопротивлении R ₁ U_ab=I ₁ R ₁=57,6 В и отложим его параллельно вектору тока I ₁. Сумма всех этих напряжений равна E ₁. Проводим из начала координат отрезок fa. Он должен изображать E ₁ в соответствующем масштабе, т.е. иметь проекции по оси абсцисс 10 см и по оси ординат – 2 см. Так как E ₂=100В, то напряжение U_gf= 100 В и потенциал точки g равен 100 В, поэтому на диаграмме точка g будет лежать на оси абсцисс в 5 см от начала координат. Соединяя точку g с точкой c, построим вектор напряжения на сопротивлении R ₂. Проверим, является ли его длина равной =2,6 см и параллелен ли этот вектор U_cg вектору тока I ₂.

Завершив построение топографической диаграммы, можно с ее помощью определять напряжение между любыми точками электрической цепи. Так, соединив точки b и g отрезком, измерим его длину и, умножив на масштаб напряжений, определим числовое значение напряжения между этими точками электрической цепи U_gb = gbm_U = 3,5 ×20 = 70 В.

Чтобы определить комплекс напряжения , (вектор направлен к первому индексу, т. е. к точке b) необходимо определить проекции вектора на вещественную и мнимую оси. Отрезок hg определяет вещественную часть комплекса , а отрезок bh – мнимую часть.

Для определения угла φ можно сразу определить . Так как вектор bh направлен в сторону противоположную мнимой оси, то взят знак минус (– bh)

Дата добавления: 2014-12-27