Последовательности

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткий курс лекций

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УФА - 2011

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ

Определение. Говорят, что задана последовательность чисел , если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вещественное число .

Число называется первым членом последовательности, - вторым, и т.д., число называют общим членом последовательности.

Примеры последовательностей:

{-1,1,-1,1…} общий член

{1,1/2,1/3…} общий член

{1,1,1…} общий член

Иногда последовательности задают, указывая несколько первых членов, и считают, что закон образования остальных членов ясен. Например, последовательность {1,-2,3,-4,5-6…} можно задать, указав формулу общего члена:

Упражнения

Укажите формулу общего члена последовательности.

1.{5/2, 10/3, 12/4, 17/5,......}

2.{1, 3/4, 4/6, 5/8,......}

3.{1/2, 3/4, 9/8, 27/16,...}

Определение. Числовая последовательность {a_n} называется неубывающей, если для любых чисел > выполняется неравенство

Аналогично, последовательность называется невозрастающей, если для любых > выполняется неравенство:

Если же выполняeтся строгoе неравенствo

или

то последовательность называется возрастающей, или соответственно убывающей.

Оба введенных понятия объединяют одним словом – монотонность

Последовательность монотонна, если она возрастает или убывает.

Частными случаями последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии. Напомним их определение.

Определение. Последовательность, определяемая первым членом и соотношением , где -постоянное число, называется арифметической прогрессией.

Число d называется разностью арифметической прогрессии. n-ый член арифметической прогрессии можно вычислить с помощью формулы

a_n = a₁ +d(n-1).

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n равна:

или

Упражнения. Составить формулу общего члена арифметической прогрессии и вычислить сумму первых n членов .

1. 1,2,3,4,5,…

2. 1,-3,-7,-11,…

3. 7,9,11,13,…

Определение. Последовательность, определяемая первым членом и соотношением , где -постоянное число, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Формула общего члена геометрической прогрессии:

Сумма первых n членов S_n:

Упражнение. Составить формулу общего члена геометрической прогрессии и вычислить сумму первых n членов .

1. 1,2,4,8,16,…

2. 2,-6,18,-54,…

3. 1,1/2,1/4,1/8,…

4. 1,-1,1,-1,…

Дата добавления: 2014-12-23