Геометрический смысл производной

ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Одним из основных понятий математики является производная,

которая определяет скорость изменения функции.

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Пример 1. Вычислить производную функции f(x) =

Пример 1. Вычислить производную функции f(x)=x³

в точке х = 4.

Производная слева и справа.

Левой (правой) производной функции f(x) в точке называется предел слева (справа) отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Пример 2. Вычислить производную функции f(x) = в точке х = -1.

у

-1 0 х

- не существует.

Задача 1.

Вывести уравнение касательной.

Касательной называется прямая к которой стремится секущая при стремлении второй точки секущей к первой.

у Запишем уравнение секущей

х

и устремим вторую точку секущей к первой, тогда поскольку

,то вычисление предела дает:

уравнение касательной, где угловой коэффициент касательной:

Производная функции равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции.

Пример 3. Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = x в точке х = 4.

Задача 2.

Показать, что если производная положительна, то функция возрастает, а если отрицательная, то убывает.

Функция f(x) возрастает (убывает) на интервале (а, в), если

для выполняется:

у Пусть тогда из

определения

производной как предела следует

откуда

х

Дата добавления: 2014-12-23