Свойства однородной плоской электромагнитной волны

Определим соотношение электрического и магнитного векторов в такой волне и их ориентацию в пространстве, для этого рассмотрим ряд условий.

1. Так как волна плоская и однородная:

и .

2. Комплексный вектор Пойнтинга ориентирован вдоль оси z, откуда следует, что продольные составляющие электрического и магнитного полей равны нулю E_z=H_z=0.

3. Выберем направление осей OX и OY так, чтобы вектор был направлен по оси OX. Это можно сделать, если вектор всегда остается параллельным некоторому направлению (такие условия, в частности, обеспечиваются при излучении электромагнитных волн неподвижной антенной).

В таком случае E_y=0.

Таким образом, электрический вектор колеблется в плоскости XOZ. Тогда уравнение Гельмгольца приобретает следующий вид:

. (10.87)

Решение этого уравнения можно представить в виде

, (10.88)

или, если предположить, что обратная волна отсутствует,

, (10.89)

где .

Найдем магнитный вектор в такой волне. Для этого воспользуемся уравнением Максвелла в комплексном виде

, (10.90)

откуда

. (10.91)

Представляя операцию rot в декартовых координатах, получаем:

. (10.92)

Таким образом, вектор магнитного поля в данной плоской волне имеет только составляющую и, следовательно, перпендикулярен к вектору электрического поля.

Закон изменения по оси z этих двух составляющих одинаков. Следовательно, электромагнитную волну вдоль оси z в фиксированный момент времени можно изобразить так, как показано на рис. 10.15.

Векторы и колеблются в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения электромагнитной волны. Такие волны называют поперечными или T-волнами. В любой плоскости z=const волна имеет фазу:
wt-kz=const – это уравнение определяет плоскость одинаковых фаз волны или волновой фронт. Волновое число (или постоянная распространения)
k=b-ja – в общем случае комплексное.

b – фазовая постоянная, она показывает, на сколько радиан изменится фаза волны при прохождении 1 метра пути. a – постоянная затухания, она характеризует изменение амплитуды волны за счет различного рода потерь.

Отношение амплитуд – постоянное для данной среды и называется волновым или характеристическим сопротивлением.

Для вакуума

. (10.93)

Мгновенная плотность потока энергии, переносимой волной:

, (10.94)

а средняя плотность определяется выражением

, (10.95)

где – единичный вектор.

Рассмотрим общее решение волнового уравнения

. (10.96)

Предположим, что на пути волны стоит проводящая стенка, перпендикулярная к оси z. Тогда на этой стенке в соответствии с граничными условиями и, следовательно,

. (10.97)

Отношение называют коэффициентом отражения . В рассмотренном случае ; .

Уравнение

(10.98)

описывает стоячую волну, так как при изменении фаза волны не изменяется.

Рассмотрим электромагнитную волну, которая, в свою очередь, создается двумя монохроматическими волнами с близкими частотами w₁ и w₂:

(10.99)

Это уравнение описывает волну, которая имеет картину по оси , представленную на рис. 10.16.

Несущая частота совпадает с частотой одной из рассмотренных волн; энергию переносит огибающая с частотой Dw, то есть движется волновой пакет.

Рассмотрим перемещение фиксированной точки, например амплитуды этого пакета. Условие постоянства выбранной точки можно записать в виде:

. (10.100)

Дифференцируя это выражение по t, находим скорость перемещения волнового пакета (переноса волной энергии), обычно называемую групповой скоростью u_гр:

, (10.101)

откуда

. (10.102)

Рассматривая непрерывный частотный спектр колебания, в пределе можно записать

. (10.103)

Дата добавления: 2014-12-26