Межотраслевые балансовые модели

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)

Рассмотрим наиболее простой вариант модели меж­отраслевого баланса (ее называют моделью Леонтьева, или моделью «Затраты — выпуск» ).

Алгебраическая теория анализа модели «Затраты – выпуск» сводится к решению системы линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства раз­бит на «чистых» отраслей.

«Чистая» отрасль » – это некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяй­ство и т.п.).

Пусть – объем продукции отрасли расходуемый в отрас­ли ;

– объем производства отрасли за данный промежуток времени (так называемый валовой выпуск продукции );

– объем потребления продукции отрасли / в непроизводственной сфере (объем конечного потребления);

– условно чистая продукция, которая включает оплату труда, чистый доход и амортизацию.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимост­ными. В зависимости от этого различают натуральный и сто­имостной межотраслевые балансы.

Ниже мы будем рассматривать стоимостной баланс.
В табл. 5.1 приведена схема межотраслевого баланса (МОБ).

Рассматривая схему баланса по столбцам, можно заметить, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее ус­ловно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли.

Данный вывод можно записать в виде соотношения:

Напомним, что величина условно чистой продукции равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода отрасли .

Соотношение (5.1) охватывает систему из уравнений, с неизвестными, отражаю­щих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Таблица 5.1

Принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном
выражении

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
			п
Условно чистая продукция
Валовой продукт

Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производя­щей отрасли, замечаем, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее про­дукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

Формула (5.2) описывает систему из уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Балансовый характер таблицы выражается в том, что

Коэффициенты прямых материальных затрат. Основу экономико-математической модели МОБ составляет технологическая матрица коэффициентов прямых затрат .

Коэффициент прямых материальных затрат показывает, сколько необходимо единиц продукции отрасли для производ­ства единицы продукции отрасли , если учитывать только прямые затраты:

Сделаем два важных предположения, необходимых для даль­нейшего рассмотрения модели Леонтьева.

· Сложившуюся технологию производства считаем неизмен­ной. Таким образом, матрица постоянна.

· Постулируем свойство линейности существующих техно­логий: для выпуска отраслью любого объема продукции необходимо затратить продукцию отрасли в количестве , т.е. материальные издержки пропорциональны объему производи­мой продукции:

Подставляя (5.4) в балансовое соотношение (5.2), получаем

Или в матричной форме

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов:

· задавая для каждой отрасли величины валовой продукции ,

можно определить объемы конечной продукции каждой от­расли :

· задавая величины конечной продукции всех отраслей,можно
определить величины валовой продукции каждой отрас­ли :

· задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, мож­но найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых. В формулах (5.7) и (5.8) символ обозначает единичную матри­цу порядка , а – матрицу, обратную к матрице . Если определитель матрицы не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то существует обратная к ней матрица.

Обозна­чим обратную матрицу через , тогда систему урав­нений в матричной форме (5.8) можно записать в виде .

Элементы матрицы называются коэффициентами полных ма­териальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции отрасли .

Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если соблюдается усло­вие продуктивности.

Неотрицательную матрицу будем называть продуктивной,
если существует такой неотрицательный вектор , что

Очевидно, что условие (5.9) означает существование положи­тельного вектора конечной продукции для модели межот­раслевого баланса (5.6).

Для решения задач приведем следующую теорему.

Теорема. Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материаль­ных затрат была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

· матрица неотрицательно обратима, т.е. существует
обратная матрица ;

· матричный ряд сходится, причем его сумма равна обратной матрице :

· наибольшее по модулю собственное значение матрицы , т.е. решение характеристического уравнения , строго меньше единицы;

· все главные миноры матрицы , т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до , положительны.

Более простым способом проверки продуктивности матри­цы является ограничение на величину ее нормы, в данном случае на величину наибольшей из сумм элементов матрицы в каждом столбце. Если норма матрицы строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна.

Данное условие является достаточ­ным, но не необходимым условием продуктивности, поэтому матри­ца может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

Дата добавления: 2014-12-26