Чисельне інтегрування

Чисельне інтегрування

Постановка задачі

Як відомо з курсу математичного аналізу, якщо на відрізку [ a, b ] функція неперервна та має первісну , то визначений інтеграл від цієї функції в межах від a до b може бути обчислений за формулою Ньютона-Лейбніца:

, де

Але в багатьох випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних методів або є досить складною. Тому обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца може бути або занадто складним, або практично неможливим.

Крім того, в дослідженнях підінтегральна функція часто буває задана таблично, і тоді поняття первісної втрачає сенс. Аналогічні питання виникають і при обчисленні кратних інтегралів. Тому важливого значення набувають наближені чисельні методи обчислення визначених інтегралів.

Задача чисельного інтегрування функції полягає в обчисленні значення визначеного інтеграла на основі ряду значень підінтегральної функції.

Функцію , задану таблицею на відрізку [ a, b ], заміняють функцією більш простого вигляду (наприклад, поліномом), а потім наближено припускають

.

Функція має бути такою, щоб інтеграл обчислювався безпосередньо простими засобами. Якщо функція задана аналітично, то додатково ставиться питання про оцінку похибки такого наближення.

Розглянемо більш детально застосування інтерполяційного полінома Лагранжа при наближеному інтегруванні.

Нехай для функції в точках х ₀, х ₁, х ₂, …., х_п відрізка
[ a, b ] відомі відповідні значення функції (і = 0, 1, 2,..., п). Потрібно наближено знайти .

За заданими значеннями у_і побудуємо поліном Лагранжа (див. роботу 4)

, де .

Замінюючи функцію поліномом , отримаємо рівність

(7.1)

де – похибка квадратурної формули (залишковий член).

Звідси отримуємо наближену квадратурну формулу

, (7.2)

де

(і = 0, 1, 2,..., п).

Зазначимо, що коефіцієнти А_і при даному розміщенні вузлів не залежать від вигляду функції .

Якщо границі інтегрування a та b є вузлами інтерполяції, то квадратурна формула (7.2) називається формулою „замкнутого типу”, в протилежному випадку – „відкритого типу”.

Для полінома степеня п формула (7.2) точна, оскільки тоді ; звідси слідує, що формула (7.2) точна при (k = 0, 1, 2,..., п), тобто = 0 при k = 0, 1, 2,..., п.

Зауважимо, що при застосуванні цього методу фактично побудова інтерполяційного полінома за методом Лагранжа не є потрібною. Цю побудову замінюють декількома спрощеними моделями, котрі разом з наочністю забезпечують потрібну точність обчислення.

Дата добавления: 2015-05-23