Градієнт функції

Функція двох змінних. Частинні похідні.

Нехай задано закон , за яким кожній впорядкованій парі незалежних змінних ставиться у відповідність хоча б єдине число z. Число z називають значенням функції f у точці .

Приклад 1. Розглянемо функцію двох змінних . Область визначення цієї функції - це множина усіх точок, які задовольняють нерівність (рівняння кола радіусом 1 з центром у початку координат). Множиною значень даної функції є відрізок .

Нехай функція визначена у деякому околі точки . Тоді частинна похідна цієї функції за змінною x (або y) визначається як звичайна похідна функції однієї змінної x (або y) за фіксованого значення змінної y (або x) і позначається так (частинна похідна першого порядку): .

Приклад 2. Знайти частинні похідні першого порядку від функції .

.

Приклад 3. Знайти частинні похідні другого порядку від функції .

Для цього знайдемо спочатку частинні похідні першого порядку:

.

Далі отримуємо:

.

Зауваження. Похідні і називаються мішаними частиннимипохідними.

Для характеристики швидкості зміни функції в точці у напрямку деякого одиничного вектора зручно ввести поняття похідної за напрямком:

. (19)

Приклад 4. Обчислити похідну функції у точці за напрямком вектора , де А - точка з координатами .

Спочатку знайдемо координати одиничного вектора , який задає напрямок :

. Далі обчислимо частинні похідні функції z у точці :

.

За формулою (19) маємо: .

Градієнтом функції називається вектор, який у декартовій системі координат визначається за формулою:

. (20)

Зауваження. У просторі градієнт функції визначається за такою формулою:

.

З урахуванням виразу (20) формулу (19) можна переписати так

,

де - кут між векторами і . Звідси випливає, що похідна функції за напрямком має найбільшу величину при , тобто коли напрямок вектора збігається з напрямком вектора .

Отже, градієнт функції у точці характеризує напрямок і величину максимальної швидкості зростання цієї функції в даній точці.

Дата добавления: 2015-05-24