Свойство ортогональности функций

Ряды Фурье.

Определение. Две функции φ(x) и ψ(x) называются ортогональными на интервале (a, b), если

Определение. Система функций называется ортогональной на интервале (a, b), если любые две функции ортогональны на этом интервале.

Наиболее важным примером ортогональной системы на любом интервале длиной 2π является система

1, cos x, sin x,, cos 2x, sin 2x,, cos 3x, sin 3x,....,, cos nx, sin nx,......

Для доказательства надо показать, что следующие интегралы обращаются в нуль.

Известны следующие свойства определенных интегралов.

1. Если f(x) – четная функция, т.е. f(x) = f(-x), то

.

1. Если f(x) – нечетная функция, т.е. f(x) = - f(-x), то

.

1. Если f(x) – периодическая функция с периодом Т, то

f(x) .

-T 0 T T + λ 2T 2T + λ x

Рассмотрим тригонометрический ряд.

Этот ряд называется рядом Фурье (1768-1830, Франция)

Если ряд (1) сходится, то сумма его будет периодической функцией с периодом 2

f(x) = f(x + 2π) при любых x.

Возникают две проблемы.

1. Каким условиям должна удовлетворять функция f(x), чтобы она разлагалась в ряд Фурье (т.е. чтобы существовал ряд Фурье, сходящийся к этой функции)?

2. Как найти коэффициенты ряда Фурье, сходящегося к данной функции?

Можно доказать, что если функция f(x) ограничена и кусочно монотонна, то она разлагается в ряд Фурье (1) на любом промежутке длиной 2π.

Дата добавления: 2015-07-02