КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Используя оператор simplify(упростить. Соответствующая кнопка символьной панели), упрощаем найденное решение
Интегрируем
Прибавляем постоянные интегрирования
Формируем общее решение
Для определения констант дифференцируем два раза с упрощением Приравнивая нулю время t, составляем уравнения для определения констант
Общее решение принимает вид:
Упрощаем выражение:
Окончательное выражение для общего решения:
Строим график:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ. Краевая задача решается в Маткаде методом пристрелки с помощью встроенной функции sbval. Эта функция на основании заданных конечных условий вычисляет начальные условия. После этого задача сводится к задаче Коши и ее можно решить, используя известную функцию rkfixed. Функция sbval имеет вид sbval(v,x1,x2,f,load,score). Здесь: v -вектор незаданных начальных условий, т.е. тех начальных условий, вместо которых заданы конечные условия. Обычно выбираем все компоненты v, равными 1; x1, x2 - начальное и конечное значения аргумента, т.е. интервал решения дифференциального уравнения; f(x,y)- векторная функция, содержащая правые части дифференциального уравнения, та же, что используется при решении дифференциального уравнения с помощью rkfixed; load(x1,v) -вектор всех начальных условий. Сюда помещаются все заданные начальные условия, а вместо незаданных помещаются компоненты вектора v; score(x2, y)- вектор конечных условий, в который помещаются разности между текущими значениями тех переменных, для которых заданы конечные условия, и их численными значениями. Задача 1. Задано однородное дифференциальное уравнение пятого порядка
Задан интервал решения:0,1.
Для уравнения пятого порядка должны быть заданы пять граничных условий. Заданы начальные условия y(0)=0, dy/dx x=0 =7 и конечные условия y(1) = 1, dy/dx x=1 = 10, d2y/dx2x=1 = 5. Сформируем для трех не заданных начальных условий вектор v,присвоив всем его элементам единичные значения
Сформируем вектор f(x,y). Для этого введем подстановки:
Вместо одного уравнения пятого порядка мы имеем теперь систему из пяти уравнений первого порядка:
Разрешив первое уравнение этой системы относительно производной, получим:
.
Следовательно,
Сформируем вектор
Здесь xn - начальное значение x, а вектор заполняется следующим образом: была проведена подстановка
После которой вектор переменных приобрел следующий вид:
С учетом подстановки нам заданы y0 = 0 и y1=7. Остальные начальные условия неизвестны и мы заполняем их вектором v. Сформируем вектор score(xk,y) для заданных конечных условий:
Вектор включает те переменные, для которых заданы конечные значения. Все вышеперечисленные действия были произведены в Маткаде, и было получено искомое решение, приведенное на рис.1.
Рис.1 решение краевой задачи в Маткаде. Функция sbval вычисляет неизвестные начальные условия, а мы затем вводим их в функцию rkfixed и получаем решение. На графиках приведены те кривые, для которых заданы конечные условия, чтобы можно было убедиться в их выполнении, а именно y3(x), y4 (x), y5(x). Ниже приведены вычисленные начальные и конечные значения переменных. Весь диапазон решения разбит нами на 1000 точек (j=0..1000), поэтому y0,0 - это начальное, а y1000,0 - конечное значения y0. То же относится к другим переменным. Как видим, вычисленные значения совпадают с заданными. Задача 1. Решить приведенное уравнение в Маткаде.
Задача 2. Задано линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами (другое название - нестационарное): . В таких уравнениях коэффициенты при переменной являются функцией независимой переменной - аргумента, в нашем случае х. Задан интервал вычислений 0<= x <=5, заданы конечные условия y(5) =2, . Нестационарные дифференциальные уравнения относятся к классу линейных, однако их аналитическое решение обычно затруднено, и их проще решать численно. Перейдя к системе дифференциальных уравнений первого порядка, имеем (проделать самостоятельно):
Далее составляем все необходимые функции, как показано на рисунке и проводим решение.
Рис.2. Решение краевой задачи для нестационарного дифференциального уравнения
Это уравнение является сложным для компьютера, что видно из длительности его решения. Проверим вычисление крайних точек:
Как видим, конечные значения совпали с заданными.
Дата добавления: 2015-06-27; Просмотров: 536; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |