Интеграл Фурье для непериодических сигналов 4 страница

f ₁ = = (4.12)

Из выражений (4.11), (4.12) можно определить расчетные параметры звеньев фильтра по заданным значениям частоты среза и сопротивления нагрузки:

L₁ = (4.13) (4.13)

C₁ = (4.14)

Переходя обратно от элементарных Г – образных ячеек к обычным схемам фильтров, легко заключить, что в П – образных фильтрах все катушки должны иметь индуктивность L₁, конденсаторы по краям фильтра – емкость С₁/2, а конденсаторы, стоящие между катушками, - емкость С₁.

В Т – образных фильтрах все конденсаторы должны иметь емкость С₁, катушки, стоящие по краям, - индуктивность L₁ / 2, а катушки, стоящие между конденсаторами, - индуктивность L₁.

Изменение полных сопротивлений элементов фильтра при переходе через частоту среза и, следовательно, крутизна среза характеристики фильтра будут тем меньше, чем больше сопротивления потерь элементов фильтра. Увеличение числа звеньев приводит к увеличению крутизны среза, однако при числе звеньев свыше 3 – 4 крутизна среза возрастает относительно мало. Отсутствие согласования фильтра с нагрузкой приводит к существенному ухудшению характеристики фильтра.

Вопрос об использовании Т – или П – образных фильтров обычно решается в зависимости от конкретных условий и с учетом вышеизложенного: конденсатор имеет малое сопротивление для токов высокой частоты и большое сопротивление для токов низкой частоты; индуктивность имеет малое сопротивление для токов низкой частоты и большое сопротивление для токов высокой частоты.

4.3. Фильтры верхних частот

Фильтры верхних частот должны пропускать токи всех частот выше некоторой частоты, также называемой частотой среза, и задерживать токи всех частот ниже этой частоты. Схемы таких фильтров можно получить, заменив в схемах фильтров нижних частот, выполняющих обратную задачу, элементы, плохо проводящие токи высоких частот, на хорошо проводящие, и наоборот, т.е. заменив конденсаторы на катушки индуктивности, а катушки – на конденсаторы (рис.4.11).

Рис.4.11. Фильтры верхних частот:

а) Г – образный, б) Т- образный, в) П – образный

Типичная частотная характеристика затухания фильтра верхних частот приведена на рис.4.12.

Рис. 4.12. Характеристика затухания фильтра верхних частот

Как и для фильтра нижних частот, эта характеристика тем больше приближается к идеальной, чем меньше потери в фильтре, больше число звеньев и чем лучше он согласован с нагрузкой. Волновое сопротивление фильтра определяется здесь также из условия равенства реактивной мощности в сопротивлениях противоположного характера, образующих Г – образные звенья, на которые может быть разбит весь фильтр. Например, Т – образный фильтр (рис. 4.13,а) и П – образный фильтр (рис. 4.14,а) можно считать составленными каждый из двух Г – образных звеньев, если представить дроссели L₁ составленными из двух параллельно включенных дросселей индуктивностью 2L₁ каждый, а конденсаторы С₁ – в виде последовательного соединения двух конденсаторов емкостью 2С₂ каждый.

Рис. 4.13. Разделение Т – образного фильтра верхних частот (а) на два

Г – образных звена (б)

Рис. 4.14. Разделение П – образного фильтра верхних частот (а) на два

Г – образные звена (б)

Используя соотношение (4.10) определим волновое сопротивление фильтра. Так как Х _с = ½ ωС ₁ и Х _L = 2ωL ₁, то для фильтров верхних частот волновое сопротивление рассчитывается также по формуле

W =

Каждое звено фильтра представляет собой колебательный контур, резонансная частота которого

f ₂ = = (4.15)

На резонансной частоте сопротивления элементов звеньев фильтра одинаковы. С увеличение частоты сопротивление емкостей быстро падает, а индуктивностей – растет. Поэтому ток с частотой, значительно больше резонансной, легко проходит от источника через конденсаторы фильтра к нагрузке, не испытывая заметного шунтирующего влияния со стороны катушек. Эквивалентное сопротивление звена имеет для тока этой частоты емкостный характер. Следовательно, фильтр будет прозрачен для частот более высоких, чем f₂. Для токов более низких частот сопротивление емкостей будет увеличиваться, а индуктивностей уменьшаться, и ток от источника будет замыкаться через катушки, не проходя к нагрузке. Это проявляется тем резче, чем больше число звеньев в фильтре и чем меньше активные потери в них. Таким образом, резонансная частота ячеек f₂ является частотой среза фильтра.

По заданной частоте среза и сопротивлению нагрузки, используя условие R _H = W, легко получить формулу для расчета элементов фильтра верхних частот:

L₁ = (4.16)

C₁ = (4.17)

Переходя от элементарных звеньев к обычным схемам фильтров, легко заключить, что в Т – образных фильтрах крайние конденсаторы должны иметь емкость 2С₁, а конденсаторы, стоящие между катушками, – емкость С₁; все катушки должны иметь индуктивность L₁. В П – образных фильтрах крайние катушки должны иметь индуктивность 2L₁, а катушки, стоящие между конденсаторами, – индуктивность L₁; все конденсаторы должны иметь емкость С₁.

4.4. Полосовые и заградительные фильтры

Часто в радиотехнических устройствах оказывается необходимым пропустить в некоторою цепь токи заданной полосы частот, лежащей в пределах от f ₁ до f ₂. Эту задачу можно решить путем последовательного включения фильтра нижних частот, имеющего частоту среза f_2ср, и фильтра верхних частот с частотой среза f_1ср. Результирующая характеристика затухания такого составленного фильтра приведена на рис. 4.15.

Рис. 4.15. Характеристика затухания полосового фильтра, составленного из фильтров верхних и нижних частот

Подобные полосовые фильтры можно получить последовательным соединением Т – образных (рис.4.16), или П – образных (рис.4.17) фильтров. Однако чаще на практике используют в качестве элементов полосовых фильтров колебательные контуры (рис.4.18).

Рис. 4. 16. Т – образный полосовой фильтр

Рис. 4.17. П – образный полосовой фильтр

Для токов с частотами, близкими к резонансной частоте, последовательный контур представляет малое, а параллельный весьма большое сопротивление. Поэтому эти токи почти беспрепятственно проходит через фильтр. Для токов же, частоты которых сильно отличаются от резонансной, последовательный контур представляет значительное, а параллельный весьма малое реактивное сопротивление, вследствие чего токи не проходят через фильтр.

Одиночные контуры не обладают достаточно однородными свойствами в широком диапазоне частот, поэтому в тех случаях, когда важно получить особенно широкую полосу и постоянную степень передачи внутри нее, используют фильтры в виде систем связанных контуров. Широкая полоса пропускания и равномерное воздействие на пропускаемые токи обеспечивается сильной связью или расстройкой контуров одного относительно другого с использованием достаточно большого числа контуров в фильтре.

Рис. 4.18. Схемы полосовых фильтров, составленных из колебательных контуров: а) П – образный; б) Т – образный

Часто приходится решать обратную задачу: не пропускать через фильтр токи определенной полосы частот. Очевидно, что такой заградительный фильтр может быть получен из полосового фильтра простой переменой мест элементов, включенных последовательно и параллельно источнику (рис.4.19). Характеристика затухания заградительного фильтра приведена на рис.4.20.

Рис. 4.19. Схемы заградительных фильтров: а) Т – образный

б) П – образный

Рис. 4.20. Частотная характеристика заградительного фильтра

4.5. Контрольные вопросы

1. Перечислите основные параметры частотной характеристики фильтра

2. Опишите принцип фильтрации постоянного и переменного токов в Г, П и Т образных фильтрах.

3. Чем определяется расхождение реальной характеристики фильтра НЧ от идеальной?

4. Запишите выражение для волнового сопротивления и частоты среза НЧ фильтра.

5. Приведите Г, П и Т образные схемы фильтров верхних частот.

6. Как выглядит характеристика затухания для фильтра верхних частот?

7. Запишите формулы для расчета элементов фильтра верхних частот.

8. Приведите П и Т образные схемы полосовых фильтров.

9. Приведите П и Т образные схемы заградительных фильтров.

5. Дискретизация и восстановление измерительных сигналов

Точная передача информации непрерывными сигналами невозможна из-за искажений и шумов в измерительном канале, из-за ограниченной разрешающей способности и погрешности самих устройств преобразования сигнала. Преобразование аналогового сигнала в дискретный уменьшает его избыточность, повышает помехоустойчивость; дискретный сигнал имеет массу преимуществ при передаче, хранении и обработке информации. Развитие измерительных технологий неразрывно связано с широким внедрением средств цифровой измерительной техники. Процесс измерения и передачи информации по измерительному каналу в таких устройствах связаны с операциями квантования измеряемой величины по уровню и дискретизацией по времени.

Большинство физических сигналов являются аналоговыми. Источниками аналоговых сигналов, как правило, являются физические процессы и явления, непрерывные в динамике своего развития во времени, в пространстве или по любой другой независимой переменной. При аналоговом представлении сигналов величина Х(t) может принимать непрерывный ряд значений как по амплитуде (уровню), так и по времени (рис. 5.1,а). В измерительной технике такими сигналами являются постоянные и переменные токи и напряжения.

Дискретное представление непрерывной функции Х(t) осуществляется:

1) заменой мгновенных значений по амплитуде ограниченным множеством разрешенных уровней. Такие сигналы называют дискретно-непрерывными или квантованными по уровню (рис. 5.1,б);

2) заменой Х(t) мгновенными значениями в фиксированные моменты времени. Такой сигнал называется дискретным, а операция перевода непрерывного сигнала в дискретный – дискретизацией (рис. 5.1,в).

3) одновременной дискретизацией и квантованием. Такой сигнал принято называть цифровым. Теоретической моделью такого сигнала (рис. 1.5,г) является дискретная последовательность X_{Д КВ} (t_i) значений непрерывного сигнала, принимающая только разрешенные уровни Х_i в определенные дискретные моменты времени t_i.

Рис. 5.1. графическая модель сигала Х(t): а) непрерывный сигнал; б) дискретно-непрерывный сигнал; в) дискретный сигнал; г) цифровой сигнал.

5.1. Квантование по уровню

Дискретное представление сигналов по уровню (амплитуде) называется квантованием. При квантовании:

ü вся область возможных значений аналогового сигнала разбивается на конечное число уровней квантования;

ü каждому уровню присваивается определенный индекс (порядковый номер в определенной системе счисления);

ü значение аналогового сигнала внутри интервала квантования, заменяется ближайшим разрешенным уровнем квантования.

При большом числе уровней квантования применяется равномерное квантование с постоянным шагом квантования q.

Квантование по уровню может осуществляться двумя способами:

1) при первом способе мгновенное значение функции x(t) заменяется меньшим дискретным значением. В результате квантования непрерывной функции x(t) образуется ступенчатая функция x_q(t), которая располагается под кривой x(t) рис. 5.2,а);

2) при втором способе квантования мгновенное значение функции заменяется ближайшим меньшим или большим уровнем квантования в зависимости от того, какой из этих уровней ближе к мгновенному значению функции. В этом случае переход ступенчатой функции с одного уровня на другой происходит в точке максимальной неопределенности сигнала, т.е. в те моменты, когда значение функции находится в середине интервала квантования. Из рис. 5.3,а) видно, что квантованная ступенчатая функция как бы обходит с двух сторон непрерывную функцию x(t).

Методическая погрешность, обусловленная заменой действительного мгновенного значения функции x(t) ее дискретным значением имеет случайный характер и ее абсолютное значение в каждый момент времени определяется разностью между квантованным значением x_q(t) и действительным мгновенным значением x(t) функции

d_q(t) = x_q(t) – x(t). (5.1)

На рис. 5.2,б) показан характер изменения абсолютного значения погрешности для первого способа квантования. В этом случае абсолютная погрешность квантования всегда отрицательная и находится в диапазоне от 0 до – ∆_q. Закон распределения этой погрешности зависит от закона распределения x(t).

Рис. 5.2. Первый способ квантования сигнала по уровню

Рис.5.3. Второй способ квантования сигнала по уровню

Математическое ожидание и дисперсия будут зависеть от закона распределения сигнала x(t), числа интервалов квантования N и шага квантования q. При большом числе уровней квантования N, все значения погрешности d_q(t) в одном интервале квантования можно считать равновероятными. Тогда плотность вероятности ошибки квантования

P (d_к) = 1/∆_q. (5.2)

Дата добавления: 2017-01-14