Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Условие принадлежности прямых одной плоскости

Две прямые L₁ и L₂ в пространстве могут: пересекаться, быть параллельными, скрещиваться. В первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости.

Для принадлежности одной плоскости прямых L₁ и L₂, заданных каноническими уравнениями:

,

необходимо и достаточно, чтобы три вектора (x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁), (m₁;n₁;p₁) и (m₂;n₂;p₂) были компланарны. Тогда необходимым и достаточнымусловием принадлежности двух прямых L₁ и L₂ одной плоскости является равенство нулю их смешанного произведения:

Если прямые удовлетворяют этому условию, то они либо пересекаются, либо параллельны. Определить, как эти прямые располагаются в плоскости, позволяет условие параллельности прямых.

Прямая принадлежит плоскости p: Ах+By+Cz+D=0, если выполнены два условия:

Ax₀+By₀+Cz₀+D=0;

Am+Bn+Cp=0.

Первое из них означает, что точка М₀ (x₀,y₀,z₀), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе есть условие параллельности прямой и плоскости.

Рассмотрим плоскость, заданную общим уравнением Ах+By+Cz+D=0, и прямую, заданную каноническим уравнением

.

Т.к. угол j между прямой и плоскостью является дополнительным к углу x между направляющим вектором прямой (m;n;p) и нормальным вектором плоскости (A;B;C),

то из определения скалярного произведения и равенства cosx=cos(90° - j)=sinj получим:

Дата добавления: 2017-01-13