Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Виды уравнений прямой в пространстве

Определение прямой в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей; либо точкой и направляющим вектором прямой.

Прямая в пространстве не определяется через нормальный вектор, т.к. любая прямая имеет в каждой своей точке бесконечное множество нормальных векторов.

1) Каноническое уравнение прямой:

,

где (m;n;p) – направляющий вектор прямой; - координаты заданной точки прямой.

2) Уравнение прямой,проходящей через две точки М₁ (х₁;у₁;z₁) и М₂ (х₂;у₂;z₂):

.

3) Общее уравнение прямой в пространстве:

Каждое из уравнений системы является уравнением плоскости, прямая – линия пересечения двух плоскостей.

4) Параметрическое уравнение прямой:

,

где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой; - координаты заданной точки прямой, t – параметр, -¥< t <+¥.

Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:

Задача определения угламежду этими прямыми сводится к определению угла j между их направляющими векторами (m₁;n₁;p₁) и (m₂;n₂;p₂). По определению скалярного произведения:

Условие параллельности прямых L₁ и L₂, эквивалентное условию коллинарности векторов (m₁;n₁;p₁) и (m₂;n₂;p₂), заключается в пропорциональности координат их направляющих векторов:

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ выражается равенством нулю скалярного произведения векторов и :

m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0.

Дата добавления: 2017-01-13